Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

4.4. THERMISCHE EIGENSCHAFTEN 211Um ein qualitatives und quantitatives Verständnis der Wärmekapazität des Gitters zuerhalten, müssen einige Begriffe, Vorstellungen und Modelle aus der Quantenmechanik bzw.Festkörperphysik adaptiert werden.Wir betrachten ein System identischer harmonischer Oszillatoren im thermischen Gleichgewicht.Der Quotient aus der Zahl der angeregten Oszillatoren im angeregten Zustand mitder Quantenzahl n + 1 und der Zahl der angeregten Oszillatoren im Zustand n lautet:N n+1 /N n = e −ω/β β ≡ k B T. (4.80)Also beträgt die Zahl der Oszillatoren im Zustand n, bezogen auf die Gesamtzahl der OszillatorenN∑ n exp(−nω/β)∞s=0 N = ∑ ∞s s=0 exp(−sω/β) (4.81)Aus Glg. 4.81 ergibt sich für die mittlere Besetzungszahl 〈n〉 eines Oszillators (d.h. dieOszillatoren sind im Mittel bis zur Quantenzahl n angeregt):〈n〉 =∑∑ s s exp(−sω/β)s exp(−sω/β) (4.82)Die Summe im Nenner hat die Form (Summe einer geometrischen Reihe)∑sx s = 11 − x(4.83)mit x = exp(−βω). Der Zähler hat die Form∑ssx s = x ddx∑x s =Man kann Glg. 4.82 zur Planckschen Verteilungsfunktion umformen:sx(1 − x) 2 . (4.84)〈n〉 =x1 − x = 1exp(ω/β) − 1(4.85)Für kleine Argumente im Exponenten, kann exp(a) in eine Taylorreihe entwickelt werden.Es gilt: exp(a) ≈ 1 + x + . . . ..... Damit erhält man unmittelbar〈n〉 ≈ k B T/ω (4.86)Ist Glg. 4.86 erfüllt, bezeichnet man die Besetzung der Niveaus als klassisch, da dann jederOszillator die Energie 〈n〉ω ≈ k B T besitzt (gültig bis etwa ω/k B T ≈ 1). Bei tiefenTemperaturen ist ω/k B T ≫ 1 und damit wird Glchg. 4.85 zu〈n〉 ≈ exp(−ω/β). (4.87)