Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

214 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENω k ist mit k über die Dispersionsrelation verknüpft; weiters ist k durch die Randbedingungenfür feste Enden festgelegt:Die Lösung für k = π/L lautet dann:k = π L , 2π L , 3π L(N − 1)π, . . . ,Lu s ∝ sin(sπa/L)Sie verschwindet, wie verlangt, für s = 0 und s = N. Die Lösung für k = Nπ/L = k max istdannu s = sin sπ.Abbildung 4.32: k Raum mit denmöglichen Schwingungsmoden einesKristallwürfels der Kante Lund der Gitterkonstante d. DieAnzahl der Moden zwischen kund k + dk ist proportional zuk 2 dk.Dabei stehen alle Atome still, da sin sπ an den Ortender Atome verschwindet. Es gibt also nur N − 1 erlaubte,unabhängige Werte von k, d.h, genau so vieleWerte wie Teilchen. Jeder erlaubte Wert von k gehörtzu einer Lösung von Glchg. 4.94. Bei einem eindimensionalenGitter der Gitterkonstante a fällt jeweils eineEigenschwingung in das Intervall ∆k = π/L.Eine weitere Methode beruht darauf, dass man dasMedium als unbegrenzt ansieht, aber die Lösungensich nach einer großen Länge L identisch wiederholen;u(sa) = u(sa + L) (periodische Randbedingungen). DieLösungen sind dann laufende Wellen u s (0) exp[i(ska −ω k t] mit den erlaubten k - Wertenk = 0, ± 2π L , ±4π L , . . . ± NπL .Diese Methode ergibt dieselbe Anzahl von Zuständenwie in der vorherigen Methode (einen pro Atom), aber essind nun positive als auch negative Werte von k erlaubt;das Intervall zwischen benachbarten k-Werten beträgtnun ∆k = 2π/L.Beschränkt man sich nur auf positive Werte von k folgt wieder L/π. ÄhnlicheÜberlegungen gelten für den 2 und 3-dimensionalen Fall.Für einen Würfel mit der Kantenlänge L ist k durch folgende Bedingungen bestimmt:Daraus folgtexp i(k x x + k y y + k z z) ≡ exp i[k x (x + L) + k y (y + L) + k z (z + L)] (4.95)k x , k y , k z = 0, ±2π/L, ±4π/L, . . . Nπ/LIm k Raum nimmt dann jeder erlaubte Wert von k ein Volumen von (2π/L) 3 ein; andersausgedrückt: pro Volumeneinheit im k-Raum gibt es für jede Polarisationsrichtung und fürjeden Zweig( ) 3 L= V(4.96)2π 8π 3