Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

212 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENDas Einstein Modell - N ungekoppelte Oszillatoren Die mittlere Energie eines Oszillatorsder Frequenz ω beträgt 〈n〉ω. N Oszillatoren der Frequenz ω besitzen die EnergieE = N〈n〉ω =Die spezifische Wärme beträgt damit( ) ( ∂EωC V = = Nk B∂Tβnormierte spezifische WärmeIhr Verlauf ist in Abb. 4.30 dargestellt.1.00.80.60.40.20.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0T/Θ E ; T/Θ DVEinstein Modell, Θ E = 200 KDebye Modell, Θ D = 200 KAbbildung 4.30: Temperaturabhängigkeitder spezifischen Wärme im Einstein - undDebye Modell; Θ E = 200 K, Θ D = 200 K.Nωexp(ω/β) − 1(4.88)) 2exp(ω/β)[exp(ω/β) − 1] 2 (4.89)Dies ist das Ergebnis des Beitrags von NOszillatoren derselben Resonanzfrequenz zurspezifischen Wärme in Festkörpern. Wird Ndurch 3N ersetzt, da jedes Atom drei Freiheitsgradebesitzt, ergibt sich für Glchg. 4.89im Grenzwert hoher Temperaturen 3Nk B , alsoder aus der Dulong-Petitschen Regel bekannteWert.Bei tiefen Temperturen fällt das Einsteinmodellmit C V ∝ exp(−ω/β) ab, experimentelljedoch findet man zumeist einVerhalten wie C V ∝ T 3 . Dies liegt darinbegründet, dass elastische Wellen einesFestkörpers nicht alle dieselbe Frequenz aufweisen.Diese Überlegung wird im sogenanntenDebye Modell in Rechnung gestellt.Das Debye Modell - N gekoppelte Oszillatoren Wir haben gesehen, dass die Energieeines harmonischen Oszillators der Frequenz ω durch die Planck’s Formel gegeben ist.U(ω, T ) =ωexp ωk B T − 1 (4.90)Nimmt man an, dass g(ω) die Anzahl der Moden pro Einheitsvolumen zwischen ω und ω+dω(= Zustandsdichte) ist, dann ist die Gesamtenergie des SystemsmitU =∫ ∞0∫ ∞0ωg(ω)(4.91)exp ωk B− 1dωTg(ω)dω = 3N. (4.92)P. Debye hat angenommen, dass der Festkörper als System gekoppelter harmonischer Oszillatorenbeschrieben werden werden kann. Die Gitterschwingungen sind dann Schallwellen,im Teilchenbild also akustische Phononen.