Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

176 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENBei T = 0 sind alle diese Zustände unterhalb E F besetzt; darüber keiner mehr. Bei höherenTemperaturen verschwimmt die scharfe Grenze bei E F : Der “Fermi-Eisblock” schmilzt etwasab, Elektronen wechseln von Zuständen knapp unterhalb E F in solche knapp oberhalb. DieserVorgang erfasst eine energetische Breite von etwa k B T beiderseits E F . Genauer ergibt sichdie Wahrscheinlichkeit, dass ein Zustand mit der Energie E besetzt ist alsf(E) =Abbildung 4.2: Die Fermikurve regelt denBruchteil der besetzten Zustände, unabhängigdavon, ob im betrachteten E-Bereich Zuständeliegen oder nicht.1exp[(E − E F )/(k B T )] + 1(4.11)Diese Funktion hat den Wert 1/2 bei E = E F und geht beiderseits antisymmetrisch gegen 0bzw. gegen 1. Der Abstand der Funktion von diesen asymptotischen Werten verringert sichbei einem Schritt k B T in E-Richtung jedesmal etwa um den Faktor e. Erst für k B T ≫ E Fgeht die Verteilung in die Boltzmannverteilung des nichtentarteten Gases über; vorher istsie völlig anders.Man kann für k B T ≪ E F höchstensvon einem Boltzmann-ähnlichen “Fermi-Schwanz” reden, der über dem “Fermi-Eisblock” steht, wobei die Energie von E Fan gezählt werden muss: Für E − E F ≫k B T wirdf(E) ≈ exp(− E − E )F.k B TAlle diese Aussagen gelten auch noch,wenn den Teilchen nicht wie im freienElektronengas alle Energien mit der ZustandsdichteGlg. 4.10 zur Verfügung stehen,sondern wenn einige Bereiche nichtbesetzt sind (verbotene Energiebereiche,Bändermodell).Im nichtentarteten Gas haben alle Teilcheneine mittlere Energie, die um k B Thöher ist als bei T = 0. Im Fermi Gasgilt dies nur für die Teilchen, die in einemStreifen der Breite k B T unterhalb derFermi-Energie saßen, d.h. für einen Bruchteilk B T/E F aller Teilchen (nicht ganzgenaue Angabe). Die spezifische Wärmeist demnach nicht (3/2)k B /m sondern nur(3/2)k 2 B T/(E F m). Der Beitrag der Elektronen zur spezifischen Wärme eines Metalls ist alsoeinige hundertmal kleiner als die nach Dulong-Petit erwarteten 25 J/mol · K. Damit ist auchdas lange ungelöst gewesene Problem geklärt, dass ein Metall bei üblichen Temperaturenim Wesentlichen nur die spezifische Wärme seiner Ionenrümpfe zeigt. Nur bei sehr tiefenTemperaturen können andere Beiträge wesentlich werden.