Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

180 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENenden. Hier gehen die fortschreitenden Wellen in stehende über, z.B. für k = π/d mitλ = 2d (Debye-Grenzwellenlänge). Für solche stehende Wellen gibt es zwei Hauptphasenlagen,ψ ∼ sin(πx/d) und ψ ∼ cos(πx/d). Im zweiten Fall ist |ψ| 2 am Ort der Ionen(x = 0, d, . . .) maximal, dazwischen 0, im ersten ist es umgekehrt. Es ist klar, dass die cos-Welle einer niedrigeren Gesamtenergie entspricht, weil sie die Nähe der Ionen ausnützt. Derim freien Zustand eindeutig bestimmte E-Wert zu p = π/d spaltet also in zwei Zuständemit erheblich verschiedenen Energien auf. Die E(p)-Parabel muss dort aufgeschnitten werden;das eine freie Ende wandert abwärts, das andere aufwärts. So entsteht eine Folge vonzumeist s-förmige Bögen, die die erlaubten Energiezustände bedeuten, mit dazwischenliegendenLücken, den verbotenen Zonen. Die Breite der erlaubten Energiebänder ergibt sich indiesem einfachen Bild typischerweise zu p 2 /(2m) = π 2 2 /(2md) ≈ 3 eV (bei d ≈ 3 Å). Fürdie Breite der verbotenen Zonen, d.h. der Differenz der potentiellen Energien einer sin- undcos-Welle, erwartet man die Größenordnung e 2 /(4πɛ 0 d), was ebenfalls einige eV ergibt.Abbildung 4.4: Die Wechselwirkung mit demGitter modifiziert die E(p)-Parabel des freienElektronengases.Die Energiebänderstruktur ist natürlichabhängig von der Kristallstruktur und derAusbreitungsrichtung der Elektronenwelle.Die Zonenkonstruktion von Brillouin zeigt,wo in einer gegebenen Richtung der Sprungvon einem Band zum anderen erfolgt. DieE(k)-Fläche bleibt keine Rotationsfläche.Dementsprechend sind die Impulszustände inden verschiedenen Raumrichtungen verschiedenweit aufgefüllt, nämlich dort am weitesten,wo die E(k)-Fläche am tiefsten liegt.Die Füllungsgrenze im p- bzw k-Raum, diefür das freie Elektronengas eine Fermi-Kugelwar, wird im Gitter zu einer Fermi-Fläche mitoft sehr komplizierter Topologie. Feinere Einzelheitendes elektromagnetischen und optischenVerhaltens der Metalle können auf Grund der Topologie der Fermi-Fläche und derEnergiebänder verstanden werden. Es gibt eine Anzahl experimenteller Möglichkeiten, diesezu bestimmen.Die Existenz von Energiebändern folgt auch aus einer ganz anderen Betrachtung. Wir sindvom Gas freier Elektronen ausgegangen und haben die Störung durch das periodische Rumpfgittereingebaut. Man kann auch vom anderen Grenzfall, nämlich von isolierten Metallatomenausgehen und diese allmählich aneinander rücken. Dann beginnen die Elektronen von einemAtom zum anderen zu tunneln, d.h. ihre Aufenthaltsdauer bei einem bestimmten Atomwird begrenzt, z.B. auf τ. Nach der Unschärferelation müssen sich dann die ursprünglichscharfen Energiezustände der Elektronen verbreitern um ∆E ≈ h/τ. Im Grenzfall, wenn dieElektronen, halbklassisch gesprochen, bei jedem Bohrumlauf, also 8md 2 /h ≈ 10 −15 s dasDurchtunneln gelingt, wird sicher ∆E = h 2 /(8md 2 ). Die Elektronen tieferer Schalen habeneine sehr viel kleinere Tunnelwahrscheinlichkeit und entsprechend kleinere Termverbreiterung(Abb. 4.5). Es besteht eine gewisse Entsprechung zwischen den Zuständen des freien