Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

144 KAPITEL 3. MEHRSTOFFSYSTEMEBerechnung von 〈l 2 〉 in Gleichung 3.60 die direkte Verbindung vom Startpunkt des Teilchensbis zu seiner Position nach N Schritten im Mittel berechnet wurde, während das inGleichung 3.77 berechnete 〈∆x 2 〉 die Halbwertsbreiten der aus Gleichung 3.71 resultierendenGauß’schen Glockenkurven (Abbildung 3.49) repräsentiert.Der Diffusionskoeffizient D, welcher in der Diffusionsgleichung 3.68 bzw. 3.69 als empirischerParameter auftritt, konnte also über die Einsteinbeziehung mit mikroskopischenKenngrößen wie der Phononenfrequenz oder der Aktivierungsenergie für einen atomarenPlatzwechsel verbunden werden. Kennt man diese mikroskopischen Parameter, so lässt sichaus ihnen D berechnen und in weiterer Folge die Diffusionsgleichung für ein beliebigesanfängliches Konzentrationsprofil c(x 0 , t 0 ) lösen. Diese Kopplung von mikroskopischen Mechanismenan Kontinuumsgleichungen ist in der Materialphysik sehr häufig. Es ist nämlich,trotz extrem gestiegener Rechnerkapazitäten, immer noch unmöglich, das dynamische Verhaltenvon Systemen mit Teilchenzahlen N in der Größenordnung von N = 10 23 mittelsatomarer Modelle (Schrödingergleichung, Molekulardynamik) zu berechnen. Manchmal istes auch nicht möglich, direkt von einem atomistischen Modell zur Kontinuumsgleichungzu gelangen, sondern es müssen mehrere Zwischenmodelle aneinander gekoppelt werden,um den Brückenschlag von der atomaren Skala zum makroskopischen Materialverhalten zuermöglichen. Diese Methodik wird oft als hierarchischer Ansatz, mehrstufige Simulation,oder, im Englischen, als ”Multilevel model“ bezeichnet.Im folgenden Abschnitt soll eine andere Kopplung zweier Modelle, nämlich der Diffusionsgleichungan die Phasendiagramme verschiedener Mehrstoffsysteme, besprochen werden.3.5.4 Diffusion und PhasendiagrammeDer einfachste Fall für das Ineinanderdiffundieren zweier Substanzen ist der eines Systems auszwei vollständig miteinander mischbaren Materialien, A und B. Analog wie bei der Herleitungder Kontinuitätsgleichung 3.67 betrachtet man zwei unendlich lange Halbvolumina, derenQuerschnitt der Einheitsfläche entspricht. Diese mögen bei x = 0 aneinanderstoßen. Zu t = 0sei Material A im linken Teilbereich konzentriert und Material B im rechten Teilbereich, wieAbbildung 3.50a schematisch zeigt.Abbildung 3.50: Schematische Darstellung eines Diffusionspaares aus den Reinmaterialien Aund B(a) experimentelle Anordnung(b) anfängliches Konzentrationsprofil