Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

142 KAPITEL 3. MEHRSTOFFSYSTEME. Die Kombination mit den Gleichungen 3.65 bzw. 3.66 ergibt schlussendlich die Diffusionsgleichung∂c∂t = D · ∂2 c(3.68)∂x 2im eindimensionalen Fall bzw.∂c∂t= D · ∆c (3.69)für den dreidimensionalen Fall (∆ ist hier der Laplace-Operator, ∆ = ∂2 + ∂2 + ∂2 in∂x 2 ∂y 2 ∂z 2kartesischen Koordinaten).Wie kann die Beziehung zwischen dem in der Kontinuumstheorie eingeführten empirischenDiffusionskoeffizienten D (Gleichungen 3.65 und 3.69 bzw. deren dreidimensionale Varianten)und dem aus atomistischen Überlegungen abgeleiteten Ausdruck in Gleichung 3.63hergestellt werden? Diese Frage reduziert sich darauf, ob der in Gleichung 3.64 hergeleiteteZusammenhang zwischen dem Diffusionskoeffizienten und der in einer Zeit τ von einem Teilchenzurückgelegten Wegstrecke aus der Diffusionsgleichung abgeleitet werden kann. Dazugeht man von folgender Modellvorstellung aus: Im eindimensionalen Fall kann ein Teilchen,welches sich zu τ = 0 an der Position x 0 = 0 befindet, als δ-förmiges Konzentrationsprofilc(x, t) dargestellt werden:c(x, t = 0) = Q · δ(x − x 0 ) = Q · δ(x). (3.70)Eine Lösung der Diffusionsgleichung, welche diese Anfangsbedingung erfüllt, ist[ ]Q −x2c(x, t) =2 · √πDt · exp , (3.71)4Dtda man einerseits zeigen kann, dass[ ] []∂c(x, t)= D · ∂2 c(x, t) −x2Qx 2= exp ·∂t∂x 2 4Dt 8 √ πD 3/2 t − Q5/2 2 √ πDt 3/2(3.72)sowie andrerseits dass für auch für t → 0 gilt∫ ∞−∞c(x, t) · dx = Q, (3.73)was bedeutet, dass die Materialmenge Q (welche in unserem Fall immer dem Volumen deseinzelnen Teilchens entspricht), der Fläche unter der Konzentrationskurve entspricht und fürt = 0 im Punkt x = 0 konzentriert ist. Die aus Gleichung 3.72 resultierende Kurvenschar istein Satz von Gauß’schen Glockenkurven, deren Halbwertsbreite von t abhängt, wie Abbildung3.49 zeigt.Im Falle eines einzelnen Teilchens kann die Konzentrationsverteilung c(x, t) (ähnlich wiein der Quantenmechanik) als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, zum Zeitpunkt t