Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

4.1. METALLE, HALBLEITER UND ISOLATOREN 175Elektron für sich und “läßt kein anderes hinein” (es sei denn mit entgegengesetztem Spin).Zeichnet man die möglichen Werte des Impulsvektors p für ein derart eingesperrtes Elektronauf, dann bilden sie ein Punktgitter, dessen Punkte einen Abstand h/L voneinanderhaben. Jeder Elektronenzustand nimmt also ein Volumen h 3 /L 3 im Impulsraum ein. Jedesolche Zelle h 3 /L 3 kann höchstens mit zwei Elektronen mit entgegengesetzten Spins besetztwerden. Dieses Punktgitter hat zunächst mit dem Kristallgitter nichts zu tun (auch nichtmit dem reziproken Gitter) und würde auch für einen völlig homogenen dreidimensionalenPotentialtopf gelten.Im Impulsraum mit den Koordina-Abbildung 4.1: Fermi- und Boltzmannverteilungfür verschiedene Temperaturen und verschiedenenTeilchenzahlen.zuoder mit der Teilchenzahldichte n = N/L 3 zu(1/2)Nh 3 /L 3 = 4πp 3 F /3p F = h(3N/(8πL 3 )) 1/3ten p x , p y , p z entspricht einem bestimmtenWert der kinetischen Energie E = p 2 /(2m)eine Kugelfläche vom Radius p = √ 2mE.Wenn man N Elektronen möglichst energiesparendunterbringen will, was derwirklichen Verteilung bei tiefen Temperaturenentspricht, muss man die Zustände“von innen”, d.h. von kleinen p-Werten anauffüllen. N Elektronen brauchen N/2 Zellen,d.h, ein Impulsvolumen (1/2)Nh 3 /L 3 .Dieses Volumen bildet eine Kugel; ihr Radius,der Fermi-Impuls p F , ergibt sich ausDem entspricht die Fermi-Energiep F = h( 38π n ) 1/3(4.8)E F = p2 F2m = h22m( 38π n ) 2/3(4.9)Ein Teilchengas, das sich verhält wie beschrieben, heißt entartetes oder Fermi-Gas. DieTemperatur, die gemäß k B T = E F der Fermi-Energie entspricht, heißt EntartungstemperaturT F . Bei der Temperatur T ist ein Gas entartet, wenn T ≪ T F . Für ein Metall mit n = 10 22bzw. 10 23 Elektronen/cm 3 ist E F = 1.7 bzw. 7.9 eV; T F = 19700 bzw. 91200 K.Die Anzahl der Zustände mit Energien zwischen E und E + dE entspricht dem Volumeneiner Kugelschale im p-Raum. Am einfachsten erhält man diese Anzahl, oder vielmehrräumlich-energetische Dichte durch Auflösen von Glg. 4.9 nach n und Differenzieren nach E:( ) 3/2 2m √dn = 4πE dE (4.10)h 2