D-A-CH TAGUNG 2011 - SGEB

̈̇2 ZUR MODELLIERUNG MECHANISCHER KONSTRUKTIONEN IN DERSTRUKTURDYNAMIKDie auf der Grundlage von Gleichgewichts- und Verträglichkeitbedingungen sowieWerkstoffgesetzen basierende lineare Bewegungsgleichung der Mechanikmit in erster Näherung ausreichender Genauigkeit, ist durch Einführung eines Zustandsvektorsin ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung -so genanntes Zustandsraummodell -überführbar:&z Az But t ty Cz Dut t tIn den Zustandsraummatrizen sind die mechanischen Parameter Masse, Steifigkeit undDämpfung z.B. dann wie folgt enthalten: 0 I 0 A ; ; 1 1 1 ; B C I 0 D 0 M K M D MBei dieser mechanischen Modellierung eines Zustandsraummodells spricht man von einemWhite-Box-Modell, da bei diesem Modell die Zustandsraummatrizen physikalisch /mechanisch deutbar sind [7].Nach einer Laplace-Transformation in den Bildbereich ist es möglich die Strukturantworty(s) (an den Ausgängen) mittels der Übertragungsfunktion H(s) bei vorgegebener Anregungu(s) (an den Eingängen) zu beschrieben:y(s) H(s) u (s)(5)Die Übertragungsfunktion H(s) des Zustandsraummodells ist durch dieZustandsraummatrizen parametrisierbar:1H(s) C(s I A)B0 1 i1CA B CA B CA B K s s s2 iDie Produkte der Zustandsraummatrizen werden als Markov - Parameter bezeichnet. In derStrukturmechanik sind diese Größen bisher wenig bekannt.Zu beachten ist, dass durch eine Ähnlichkeitstransformation mit einerTransformationsmatrix T bei den Zustandsraummatrizen A, B und C die Struktur mitmechanisch deutbaren Parametern verloren geht. Ungeachtet dessen bleiben die Produkte derZustandsraummatrizen –die Markov - Parameter– unverändert:1 1 CAB CT T AT T B CABˆˆˆDiese Parameter sind physikalisch messbar.Werden die o.g. –auf einer mechanischen Modellierung basierenden– Zustandsraummatrizengenutzt um die Markov - Parameter zu bilden, erkennt man, dass aus den Markov - Parameterndie mechanischen Parameter wie folgt extrahiert werden können:(1)(2)(3)(4)(6)(7)3253