Institutionen der Integration Ratspräsidentschaft und ... - E-LIB

Valentin Schröder Institutionen der Integration Anhang A-2
auch als einen Spieler vom Typ w behandeln. Ich zeige in Proposition 4.8, dass es sich für einen
Spieler 1 vom Typ w in den in Proposition 4.9 beschriebenen Fällen nie lohnt, so zu handeln, als
wären beide Spieler vom Typ w. Es könnte sich für ihn aber lohnen, so zu handeln, als sei er
selbst vom Typ s und der Spieler 2 vom Typ w. Das entsprechende Angebot o 1t und die Voraussetzungen
dafür, dass ein Spieler 2 vom Typ w es annimmt, ergeben sich aus Proposition 4.1.
Damit ein Spieler 1 vom Typ w ein Angebot o 1d vorlegt, muss für seinen Erwartungsnutzen im
Vergleich zu einem Angebot o 1t gelten:
Π(1 - δ 2 ) + δ 1 ω 1w + z + β – β ≥ (1 - p 2)(δ 1 ω 1w + z) + p 2[Π - (ω 2w + y t )] – β. (4.36)
Der Wert p k , den p 2 im Intervall [p ur ,p r ) übertreffen muss, wenn p 1 p t ist, lautet dann:
p k
=
Π ω 2w δ 1 ω 1w p 1
(δ 2 Π ω 2w δ 1 ω 1w )
2 [ θ ω 1w (1 δ 1 )+β+p 1
[ω 1w (1 δ 1 ) θ+β]]
√ [Π ω 2w δ 1 ω 1w p 1
(δ 2 Π ω 2w δ 1 ω 1w )] 2
4 [ θ ω 1w (1 δ 1 )+β+p 1
[ω 1w (1 δ 1 ) θ+β]] 2 + Π(1 δ 2 )+β
θ ω 1w (1 δ 1 )+β p 1
[ω 1w (1 δ 1 ) θ+β] .(4.37)
Dabei kommt immer nur eine der beiden möglichen Lösungen in Frage, weil nur eine davon im
Definitionsbereich von p 2 liegen kann. Außerdem ist ein Spieler 2 vom Typ w nur dann bereit,
ein Angebot o 1t anzunehmen, wenn die Voraussetzungen für Proposition 4.1 erfüllt sind. Für p 1
und p 2 muss deshalb noch gelten: p 1 MAX{p k ,p b }.
Auch hier stellt sich, wenn der Erwartungsnutzen eines Angebots o 1t geringer ist als der Nutzen
aus einem Angebot o 2r , eine Ultimatum-Situation ein, wenn MAX{p k ,p b p 2 p ur ist. In diesen
Fällen ist die Best-Response-Funktion von Spieler 1 nach Proposition 4.5 einschlägig. Deshalb
legt ein Spieler 1 vom Typ w im Intervall [p e ,p ur ] ein Angebot o 1u vor, und sonst ein Angebot o 1w .
Q.E.D.
Nach Proposition 4.2 ist es, wenn p 2 >p r ist, in der Vorstellung von Spieler 1 nicht möglich, dass
Spieler 2 ihm in der nächsten Runde ein profitables Angebot vorlegt. Denn so ein Angebot gibt
es für einen Spieler 2 vom Typ s dann nicht. Also handelt Spieler 1 vom Typ w dann so, als würde
das Spiel enden, falls der Spieler 2 vom Typ s ist. Das entsprechende Angebot o 1w ist aber nur
in dem Intervall von p 2 das optimale Angebot für Spieler 1, in dem er kein anderes Angebot
kennt, das ihn gegeben seine Vorstellung von der Typenverteilung besser stellt. Es gibt zwei solche
alternativen Angebote. Sie richten sich an einen Spieler 2 vom Typ w. In dem einen Angebot
handelt Spieler 1 vom Typ w entsprechend seines tatsächlichen Typs. Das ist das Angebot nach
der Rubinstein-Verhandlungslösung, 1Π. Und es gibt ein Angebot o 1s , in dem er so handelt, als
wäre er vom Typ s. Ich habe schon im Beweis zu Proposition 4.1 geklärt, unter welchen Umstän-
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