Klassifikation von Mustern

102 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
pulsantwort, daher wegen Bild 2.1.4, S. 68, einen breiten Durchlassbereich des Filters und eine
geringe Glättung. Das zeigt auch die FOURIER-Transformierte der GAUSS-Funktion
G(ξ, η) = exp − σ2
2 2
ξ + η
2
, (2.3.42)
die selbst wieder eine GAUSS-Funktion ist; die eindimensionale Version wurde bereits in
(2.1.8), S. 64, eingeführt. Die anisotrope Version, die zur Glättung von Linienstrukturen geeignet
ist, wird in (2.3.69) erwähnt. Man erhält die diskrete (eindimensionale) Impulsantwort
nach dem oben genannten Verfahren aus
gj = 1
√ 2πσ exp
− j2
2σ 2
, j = . . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . , (2.3.43)
wobei wie in Abschnitt 2.1.2 die Breite und Höhe eines Bildpunktes gleich Eins gesetzt wurde.
Wegen der Separierbarkeit der GAUSS-Funktion ist damit auch der n–dimensionale Fall
abgedeckt. Eine effiziente rekursive Realisierung wird in Abschnitt 2.3.6 angegeben.
Einige Beispiele für Impulsantworten von Glättungsfiltern sind
g1 = 1
9
⎛
⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎞
⎠ , g2 = 1
10
⎛
⎝
1 1 1
1 2 1
1 1 1
⎞
⎠ , g3 = 1
16
⎛
⎝
1 2 1
2 4 2
1 2 1
⎞
⎠ . (2.3.44)
Diese sind symmetrische Impulsantworten, d. h. der Wert gi,00 liegt jeweils in der Mitte der
Matrix. Die Impulsantworten g1, g3 sind offensichtlich separierbar im Sinne von (2.3.18). Die
eindimensionale Version von g3 ist z. B. g3,1 = (1/4)(1, 2, 1), und die zweidimensionale Version
erhält man aus g3 = g T 3,1 g3,1.
Wenn man das beobachtete Muster ϱ f darstellen kann durch
ϱ f = s + ϱ n (2.3.45)
und wenn es möglich ist, mehrere Realisationen von ϱ f, ϱ = 1, . . . , N zu beobachten, welche
das gleiche Signal s und verschiedene Repräsentanten ϱ n des gleichen Störprozesses mit
E{ ϱ n} = 0 enthalten, dann ist es möglich, die Störung durch eine Mittelung
h = 1
N
N
ϱ
f ≈ s (2.3.46)
ϱ=1
über die beobachteten Muster zu reduzieren. Dieser Fall tritt vor allem bei periodisch sich wiederholenden
Vorgängen auf, wie z. B. im Geräusch einer rotierenden Maschine oder im Strahlungsbild
des schlagenden Herzens bei nuklearmedizinischen Aufnahmen. Natürlich muss die
Aufnahme von ϱ f genau mit dem periodischen Vorgang synchronisiert werden.
Zur Hervorhebung von Änderungen eignet sich eine Differenzbildung (ROBERTS-Kreuz)
gemäß
hjk = f 2 x + f 2 y oder hjk = |fx| + |fy| ,
fx = fjk − fj+1,k+1 und fy = fj,k+1 − fj+1,k .
(2.3.47)
Eine Alternative ist die diskrete Approximation der partiellen Ableitungen an der Stelle (j, k)
durch
∂f
∂x ≈ fx = 1
2 (fj+1,k
∂f 1
− fj−1,k) , ≈
∂y 2 (fj,k+1 − fj,k−1) (2.3.48)