Klassifikation von Mustern

4.1. STATISTISCHE ENTSCHEIDUNGSTHEORIE (VA.1.2.3, 13.04.2004) 315
erreicht. Mit (4.1.2) gilt für den BAYES-Klassifikator (s. (4.1.3))
p(Ωλ |c) = pλp(c|Ωλ)
p(c)
. (4.1.34)
Da p(c) unabhängig vom Index λ ist, nehmen die a posteriori Wahrscheinlichkeiten p(Ωλ |c)
für den gleichen Index ihr Maximum an wie die Ausdrücke pλp(c|Ωλ) in (4.1.33). Sind zudem
die a priori Wahrscheinlichkeiten gleich, so ist die Maximierung von p(Ωλ |c) äquivalent
der Maximierung von p(c|Ωλ). Ein solcher Klassifikator wird als Maximum-likelihood-
Klassifikator bezeichnet. Eine zur Entscheidungsregel (4.1.33) äquivalente Formulierung besteht
darin, den Index κ der ausgewählten Klasse zu berechnen aus
κ = argmax p(Ωλ |c) = argmax pλp(c|Ωλ) . (4.1.35)
λ∈{1,...,k}
λ∈{1,...,k}
Dieses Ergebnis wird zusammengefasst in
Satz 4.3 Der BAYES-Klassifikator, der bei erzwungener Entscheidung die Fehlerwahrscheinlichkeit
minimiert, berechnet die k a posteriori Wahrscheinlichkeiten (4.1.34) und entscheidet
sich für die Klasse mit maximaler a posteriori Wahrscheinlichkeit; dieses entspricht
der Anwendung der Entscheidungsregel (4.1.33) bzw. (4.1.35).
Es wird noch darauf hingewiesen, dass sich auch die allgemeinen Prüfgrößen (4.1.13) oder
(4.1.18) mit (4.1.34) umformen lassen, sodass bei der Bestimmung des Minimums (4.1.15) nur
die a posteriori Wahrscheinlichkeiten verwendet werden. Man kann also wahlweise die Terme
pλp(c|Ωλ) oder p(Ωλ |c) nehmen, da der normierende Faktor p(c) von pλp(c|Ωλ) unabhängig
ist. Für die numerische Berechnung wird man in der Regel von pλp(c|Ωλ) ausgehen, da die a
priori Wahrscheinlichkeiten pλ und die bedingten Dichten p(c|Ωλ) als bekannt vorausgesetzt
wurden bzw. unter geeigneten Annahmen mit einer klassifizierten Stichprobe geschätzt werden
können.
4.1.5 Fehlerwahrscheinlichkeit und Kosten
Es wurden zwei Größen zur Beurteilung der Leistungsfähigkeit eines Klassifikators eingeführt,
nämlich die Kosten für bestimmte Entscheidungen und die Wahrscheinlichkeit für das Treffen
bestimmter Entscheidungen. Die Wahrscheinlichkeiten haben den Vorteil, dass sie unmittelbar
anschaulich sind und auch durch Abzählen der verschiedenen Fälle leicht geschätzt werden können.
Beispielsweise kann man bei einem automatischen EKG Auswertesystem abzählen, wie
oft ein tatsächlich normales EKG irrtümlich als anormal und ein tatsächlich anormales EKG irrtümlich
als normal eingestuft wurde – vorausgesetzt, es gibt eine übergeordnete Instanz, welche
die richtige Diagnose kennt. Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeit bedeutet, dass man die
Summe der mit den a priori Wahrscheinlichkeiten bewichteten beiden Fehlerarten minimiert.
In diesem Beispiel wird man aber vermutlich den Fall, dass ein anormales EKG für normal
gehalten wird, stärker bewichten wollen, damit er weniger häufig auftritt. Dieses ist durch Zuordnen
von Kosten zu den einzelnen Entscheidungen möglich. Andererseits ist es schwierig,
solche Kosten konkret in einer Währungseinheit anzugeben, und es müssen unrealistische Kostenzuordnungen
vermieden werden. Werden nämlich im obigen Beispiel sehr hohe Kosten der
Fehlklassifikation eines anormalen EKG zugeordnet, so wird es für den Klassifikator „am billig-