Klassifikation von Mustern

128 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
eine Rotation des Musters in eine Normorientierung möglich. Dafür wird eine Folge von Normierungsschritten
angegeben. Um die Zahl der Symbole zu reduzieren, wird in jedem Schritt
das anfängliche Muster mit f(x, y) bezeichnet, das transformierte mit h(u, v). Das anfängliche
Muster im Schritt j ist das transformierte Muster des Schrittes (j − 1). Zur Vereinfachung wird
mit den kontinuierlichen Formen f(x, y), h(u, v) gearbeitet, da die bereits diskutierten Interpolationsprobleme
bei Folgen von Abtastwerten nicht nochmals erörtert werden sollen.
Das gegebene Muster wird in folgenden Schritten normiert, wobei die Momente mpq und
µpq der Muster f(x, y) ≥ 0 und h(u, v) ≥ 0 definiert sind durch
∞ ∞
mpq =
µpq =
−∞
∞ ∞
−∞
x
−∞
p y q f(x, y) dx dy ,
u
−∞
p v q h(u, v) du dv . (2.5.31)
Schritt 1: Mit xs = m10/m00 und ys = m01/m00 setze man
u = x − xs , v = y − ys ,
h(u, v) =
f(x, y)
. (2.5.32)
m00
Dann ist µ00 = 1, µ10 = µ01 = 0. Diese auf den Schwerpunkt (xs, ys) bezogenen Momente
werden auch als Zentralmomente bezeichnet.
Schritt 2: Ersetze f(x, y) durch h(u, v), d. h. im Folgenden ist f(x, y) ein Muster mit m00 =
1, m10 = m01 = 0. Man setze
R = √ m02 + m20 , u = x
,
R
y
v =
R ,
h(u, v) = R 2 f(x, y) . (2.5.33)
Dann ist µ20 + µ02 = 1.
Schritt 3: Ersetze f(x, y) durch h(u, v), d. h. im Folgenden gilt für die Momente von f(x, y)
zusätzlich m20 + m02 = 1. Bestimme die Lösungen der Gleichung
tan(2α) =
2m11
m20 − m02
. (2.5.34)
Führe die Koordinatentransformation (Rotation um den Winkel α)
u cos α sin α x
=
v − sin α cos α y
aus, die eine Transformation auf Hauptträgheitsachsen ist, und setze
(2.5.35)
h(u, v) = f(x, y) . (2.5.36)
Dann ist µ11 = 0. Von den vier Lösungen von (2.5.34) wähle diejenige, für die µ20 < µ02 und
µ21 > 0 ist.
Schritt 4: Ersetze f(x, y) durch h(u, v), d. h. für f(x, y) ist zusätzlich m11 = 0, m20 <
m02, m21 > 0. Wähle β ∈ {+1, −1} so, dass für
u = βx , v = y ,
h(u, v) = f(x, y) (2.5.37)