Klassifikation von Mustern

192 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Diese Gleichung gibt den Übergang von gröberen zu feineren Stufen.
3.3.4 Diskrete Wavelet Transformation einer endlichen Folge
Die obigen Summen wurden in der Regel nur mit
l angegeben, die Grenzen offengelassen.
Sie reichen i. Allg. von (−∞, ∞), was natürlich für die digitale Verarbeitung, insbesondere die
digitale Verarbeitung einer endlichen Folge von Abtastwerten, unzweckmäßig ist. Wir geben
daher noch kurz die Transformation einer endlichen Zahl von Abtastwerten an.
Die Ausgangsgleichungen sind nach wie vor (3.3.8) bzw. (3.3.15), wobei letztere zeigt, dass
man die Entwicklung bei einem beliebigen Index µ = µ0, z. B. µ = µ0 = 0, beginnen kann,
indem man die Skalierungsfunktion φµ0,k(t) hinzunimmt. Das ergibt
f(t) =
∞
k=−∞
fµ0,kφµ0,k(t) +
=
〈f, φµ0,k〉φµ0,k(t) +
k
∞
∞
µ=µ0 k=−∞
dµ,kψµ,k(t) (3.3.34)
∞
〈f, ψµ,k〉ψµ,k(t) .
µ=µ0
k
Damit ist der untere Index der Summe über µ bereits endlich gemacht. Der Index µ = µ0 gibt
die gröbste Auflösungsstufe an.
Die Wahl eines endlichen oberen Index µ = m für die Skalierungsfunktion impliziert i. Allg.
eine Approximation. Da man in der digitalen Verarbeitung f(t) durch seine Abtastwerte fj repräsentiert,
ist ohnehin eine Bandbegrenzung von f(t) vorausgesetzt, die in der Regel durch
Tiefpassfilterung sichergestellt wird; die tiefpassgefilterte Funktion sei fm(t). Damit ergibt die
Rekonstruktion der (tiefpassgefilterten) Funktion fm(t) aus den Abtastwerten mit Hilfe der Interpolationsformel
(2.1.21), S. 65, auch nur eine Approximation der ursprünglichen (noch nicht
tiefpassgefilterten) Funktion f(t). Zur Berechnung der Wavelet Koeffizienten von fm(t) aus
den Abtastwerten fj müssen, ähnlich wie bei der diskreten FOURIER-Transformation, die Abtastwerte
dicht genug gewält sein. Die feinste Auflösungsstufe, oberhalb derer fast keine Signalenergie
mehr liegt, sei µ = m, wobei wir hier der Einfachheit halber voraussetzen, dass die
Zahl der Abtastwerte M = 2 m ist. Das bedeutet, dass mit guter Annäherung f(t) ∈ Vm gelten
sollte, bzw. Φm{f(t)} ≈ f(t). Im Folgenden nehmen wir an, dass diese Forderung exakt erfüllt
ist, d. h.
f(t) =
∞
k=−∞
fµ0,kφµ0,k(t) +
m−1
∞
µ=µ0 k=−∞
dµ,kψµ,k(t) . (3.3.35)
Die sukzessive Reduktion der Auflösung zeigt Bild 3.3.4 an einem schematisierten Beispiel.
Die Berechnung der DWT erfordert dann die Schritte
1. Projektion von f(t) auf die feinste Auflösungsstufe,
fm,k = Φm{f(t)} = 〈f, φm,k〉
≈
f(2 −m l)φm,l−k . (3.3.36)
l
2. Berechnung der Wavelet Koeffizienten dµ,k = 〈f, ψµ,k〉, µ = m − 1, m − 2, . . . , µ0 und
fµ0,k = 〈f, φµ0,k〉 mit dem Pyramidenalgorithmus (3.3.31).