Klassifikation von Mustern

66 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
1. man berechne f(x) aus dem Umkehrintegral der FT und
2. man betrachte F (ξ) als eine Periode einer gedanklich periodisch fortgesetzten Funktion
und entwickle F (ξ) in eine FOURIER-Reihe.
Aus der FOURIER-Transformierten F (ξ) in (2.1.4) erhält man wegen (2.1.18) die Funktion f(x)
aus dem Umkehrintegral
f(x) = 1
∞
F (ξ) exp[i ξx] dξ
2π
= 1
2π
−∞
ξ0
−ξ0
F (ξ) exp[i ξx] dξ . (2.1.23)
Da F (ξ) bandbegrenzt im Intervall (−ξ0, ξ0) ist, kann man es in diesem Intervall gemäß (2.1.16)
in eine FOURIER-Reihe entwickeln, wobei man gedanklich F (ξ) über das Intervall (−ξ0, ξ0)
hinaus periodisch fortsetzt. Unter Beachtung von (2.1.5) und (2.1.20) erhält man für die Entwicklungskoeffizienten
aj = 1
ξ0 −i j2πξ
F (ξ) exp dξ
2ξ0 −ξ0
2ξ0
= 1
ξ0 π
F (ξ) exp i ξ
2π ξ0 −ξ0
−jπ
dξ
ξ0
−jπ π
= f
ξ0
ξ0
= f(−j∆x)∆x . (2.1.24)
Setzt man (2.1.24) in (2.1.16) ein, so ergibt sich für F (ξ) die Gleichung
F (ξ) =
=
∞
j=−∞
∞
j=−∞
f(−j∆x) exp[i j∆xξ] ∆x
f(j∆x) exp[−i j∆xξ] ∆x .
Dieser Ausdruck für F (ξ) in (2.1.5) eingesetzt ergibt schließlich
f(x) = 1
2π
=
∞
=
j=−∞
∞
j=−∞
∞
j=−∞
ξ0
f(j∆x)
f(j∆x) ∆x
2π
−ξ0
exp[i ξ(x − j∆x)] ∆x dξ
exp[i ξ(x − j∆x)]
i (x − j∆x)
sin [2πBx(x − j∆x)]
fj
2πBx(x − j∆x)
Die letzte Gleichung ist gerade (2.1.21), und damit ist Satz 2.1 bewiesen.
Der obige Satz ist die theoretische Grundlage für die digitale Verarbeitung von Mustern, da
er sicherstellt, dass man ein Muster unter bestimmten Voraussetzungen durch seine Abtastwerte
nicht nur approximieren, sondern sogar exakt darstellen kann. Ein Beispiel der Approximati-
.
ξ0
−ξ0