Klassifikation von Mustern

4.2. STATISTISCHE KLASSIFIKATOREN (VA.3.3.4, 29.09.2004) 349
ist, dann gibt es für ∆ϑj die geschlossene Lösung
∆ϑj = 1
Fϕ
log Nj
. (4.2.115)
qj(ϑ)
4.2.5 Klassifikation normalverteilter Merkmalsvektoren
Wie bereits in Abschnitt 4.2.1 erwähnt, bilden die n–dimensionalen Normalverteilungsdichten
die wichtigste parametrische Familie. Daher wird in diesem Abschnitt etwas genauer der
Fall klassenweise normalverteilter Merkmalsvektoren betrachtet; der resultierende Klassifikator
wird auch als Normalverteilungsklassifikator bezeichnet. Im Allgemeinen ergeben sich
die Prüfgrößen durch Einsetzen von (4.2.3) in (4.1.13). Für die (0,1)–Kostenfunktion erhält
man eine weitere Vereinfachung. Als Prüfgrößen werden die in (4.1.33) auftretenden Terme
uλ(c) = pλp(c|Ωλ)
1
|2πΣλ | exp
= pλ
− (c − µ λ) T Σ −1
λ (c − µ λ)
2
(4.2.116)
verwendet. Die Lage des in (4.1.33) zu ermittelnden Maximum bezüglich λ ändert sich nicht,
wenn eine monoton wachsende Funktion von uλ(c) genommen wird. In diesem Falle ist
u ′ λ (c) = 2 ln [uλ(c)] (4.2.117)
zweckmäßig. Damit erhält man
u ′ λ(c) = −(c − µ λ) T Σ −1
λ (c − µ λ) + 2 ln
= −c T Σ −1
γλ = −µ T λ Σ−1
λ µ λ + 2 ln
pλ
|2πΣλ|
λ c + 2cTΣ −1
λ µ λ + γλ ,
pλ
|2πΣλ |
(4.2.118)
Definiert man einen Vektor mit (1 + n + n(n + 1)/2) Komponenten
c T = (1, c1, c2, . . . , cn, c1c1, c2c1, c2c2, c3c1, . . . , cncn) , (4.2.119)
einen Vektor mit n Komponenten
aλ = 2Σ −1
λ µ λ , (4.2.120)
bezeichnet die Elemente der symmetrischen Matrix Σ −1
λ mit σλij, i, j = 1, . . . , n, und definiert
einen Vektor
so gilt
a T
λ = (γλ, aλ1, . . . , aλn, −σλ11, −2σλ21, −σλ22, −2σλ31, . . . , −σλnn) , (4.2.121)
u ′ λ
(c) = aT c , λ = 1, . . . , k . (4.2.122)
λ
Die Anwendung von (4.1.33) auf normalverteilte Merkmalsvektoren erfordert also die Berechnung
von k Skalarprodukten. Der resultierende Klassifikator, dessen Struktur in Bild 4.2.5 angegeben
ist, ist quadratisch bezüglich der Komponenten cν des Merkmalsvektors. Der Vektor