Klassifikation von Mustern

428 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
initialisiere: Stichprobe ω, Optimierungsfunktion Φ, Klassenzahl k
berechne anfängliche Zerlegung in Teilmengen ω1, . . . , ωk und Wert von Φ
FOR alle Muster ϱc ∈ ω, ϱ = 1, . . . , N
entferne das Muster ϱc aus der aktuell zugeordneten Klasse; diese sei ωκ
FOR λ = 1, . . . , k, λ = κ
bringe ϱc nach ωλ, berechne neuen Wert Φ ′ λ der Optimierungsfunktion
berechne Φ ′ min = minλ=κ Φ ′ λ; der zugehörige Wert von λ sei λmin
IF Φ ′ min < Φ
THEN ϱ c wird aus ωκ entfernt und nach ωλmin gebracht; setze Φ = Φ′ min
ELSE ϱ c verbleibt in ωκ
UNTIL die Zerlegung wird nicht mehr geändert
Bild 4.8.3: Zur Optimierung einer Klassenzerlegung durch Neuzuordnung von Mustern
Wenn bereits N ′ < Na Elemente in ωa,1 sind, wird als (N ′ + 1)–tes dasjenige aus ω bestimmt,
dass am nächsten zu einem der N ′ vorhandenen liegt. Es werden also nicht die Na − 1 nächsten
Nachbarn von ca,1 bestimmt. Dieser Prozess wird so oft wiederholt, bis Na Elemente in ωa,1
sind, und dann für die restlichen Untermengen ωa,λ, λ = 2, k durchgeführt.
Die anschließende Optimierung wird so durchgeführt, dass ein Muster aus der Stichprobe
ω, das z. B. aktuell in der Teilmenge ωκ ist, aus seiner Teilmenge entfernt und versuchsweise
in eine andere Teilmenge ωλ gebracht wird. Wenn diese Neuzuordnung den Wert von Φ5 (oder
alternativ von Φ4) verringert, wird sie beibehalten, sonst die Zuordnung zu einer anderen Teil-
menge ωλ ′ versucht. Diese Schritte werden wiederholt für alle möglichen Neuzuordnungen und
alle Muster aus der Stichprobe. Sie werden iteriert, bis sich nichts mehr an der Zuordnung der
Muster ändert. Das Prinzip zeigt Bild 4.8.3; dort wird die zu optimierende Funktion allgemein
als Φ bezeichnet, kann also Φ4 oder Φ5 sein.
Die Effizienz wird dadurch verbessert, dass die Neuberechnung von Φ5 nur die Veränderungen
erfasst, also iterativ erfolgt. Sei bei der aktuellen Zuordnung von Mustern der Wert von
Φ5 durch (4.8.44) gegeben. Wird ein Muster ϱc ∈ ωκ aus ωκ entfernt und nach ωλ gebracht, so
ergibt sich der veränderte Wert Φ ′ 5 aus dem alten Wert Φ5 zu
Φ ′ 5 =
α =
NκNλ
(Nκ − 1)(Nλ + 1) Φ5
+ α χ( j c, ϱ cλ)g0( j c − ϱ cλ) +
χ( ϱ cλ, k c)g0( ϱ cλ − k c)
j
j
k
k
−
χ( j c, ϱ cκ)g0( j c − ϱ cκ) −
χ( ϱ cκ, k c)g0( ϱ cκ − k
c) , (4.8.45)
1
2N1N2 . . . Nκ−1(Nκ − 1)Nκ+1 . . . Nλ−1(Nλ + 1)Nλ+1 . . . Nk
Statt der Doppelsumme in (4.8.44) sind hier also nur einfache Summen auszuwerten. Natürlich
ist eine analoge Vorgehensweise auch bei den Maßen in (4.8.26) möglich. Da χ und g0 symmetrische
Funktionen sind, lässt sich der Rechenaufwand in (4.8.45) weiter reduzieren, was in
obiger Gleichung nicht explizit gemacht wurde, um den direkten Bezug zur Ausgangsgleichung
.