Klassifikation von Mustern

194 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
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Bild 3.3.5: Die Schritte periodische Fortsetzung, Faltung, Unterabtastung bei der Wavelet Transformation,
am Beispiel fj, j = 1, . . . , 16, gj, j = 1, . . . , 6
Mit (3.3.40), (3.3.41) ist die Grundlage für die diskrete Wavelet–Transformation einer endlichen
Folge von Abtastwerten gegeben. Die Koeffizienten hi, gi hängen von der verwendeten
Basis ab; für die HAAR-Basis wurden sie in (3.3.24) und (3.3.25) angegeben. Aus Bild 3.3.4
geht hervor, dass die Zahl der Koeffizienten von fµ,j und dµ,j in der nächst kleineren Auflösung
jeweils halb so groß ist wie die der Koeffizienten von fµ+1,j.
Auf der Basis der periodischen Fortsetzung von f in (3.3.40), erste Teilgleichung, wird
noch kurz ein Algorithmus skizziert. Die zu transformierende Funktion [f] = [f]µ+1 habe
M = 2 m Abtastwerte, die Skalierungsfunktion [g] habe L solcher Werte, s. Bild 3.3.5 für
M = 16, L = 6. Zunächst wird [f] periodisch fortgesetzt, indem die L − 1 letzten Abtastwerte
von [f] links angesetzt werden; das Ergebnis [ f] hat nun M + L − 1 Abtastwerte. Aus
dem Pyramidenalgorithmus (3.3.31) geht hervor, dass die Summe über l einer Faltung von [f]
mit [g−l] entspricht, d. h. die Werte von [g] werden von rechts nach links beginnend angeordnet.
Die Koeffizienten von [h] werden aus (3.3.23) berechnet. Es wird [f] = [f]µ+1 mit [g−l]
und mit [h] gefaltet; das Ergebnis hat jeweils M + 2 × (L − 1) Abtastwerte. Die Koeffizienten
[f]µ bzw. [d]µ erhält man, wieder gemäss (3.3.31) bzw. Bild 3.3.2, durch Unterabtastung
der Ergebnisse der Faltungen mit [g−l] bzw. mit [h] über eine Periode, d. h. durch Auswahl von
M/2 Koeffizienten aus den Ergebnissen dieser beiden Faltungen, beginnend ab Abtastwert L.
Dieser Prozess kann dann auf den M/2 Koeffizienten von [f]µ wiederholt werden. Als Beispiel
werden unten in Tabelle 3.1 die Filterkoeffizienten gl einiger Skalierungsfunktionen angegeben;
die entsprechenden Waveletkoeffizienten hl ergeben sich aus (3.3.23).
Als Merkmale für die Klassifikation von Mustern werden z. T. einige der Koeffizienten einer
Wavelet–Transformation direkt verwendet, z. T. aber daraus Merkmale berechnet, die z. B.
bestimmte Invarianzeigenschaften haben.
3.3.5 Zweidimensionale Wavelet Transformation
Mit zweidimensionalen Skalierungsfunktionen der Form (3.3.16) erhält man einen Mittelwert–
oder Tiefpassanteil fµ,j,k und mit zweidimensionalen Wavelets der Form in (3.3.17) erhält man
nun drei Differenz– oder Hochpassanteile d0,µ,j,k, d1,µ,j,k, d2,µ,j,k. Diese werden berechnet, indem
man eine eindimensionale Wavelet Transformation der Reihe nach auf alle Zeilen eines
Bildes f = [fj,k] anwendet und damit je Zeile einen Mittelwert- und einen Differenzanteil berechnet,
wie es in Bild 3.3.4 angedeutet ist. Danach wendet man eine Wavelet Transformation
der Reihe nach auf alle Spalten des resultierenden Koeffizientenfeldes an und erhält so vier Koeffizientenfelder.
Dieser Prozess kann dann wieder auf das Feld mit den Tiefpasskoeffizienten
erneut angewendet werden, wie es Bild 3.3.6 für zwei Schritte zeigt. Natürlich kann man auch
erst die Spalten und dann die Zeilen transformieren. Ein Beispiel für die dreimalige diskrete