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312 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005) Da man die Prüfgrößen uλ, λ = 0 auch in der Form uλ(c) = rf k pjp(c|Ωj) + (rc − rf)pλp(c|Ωλ) j=1 angeben kann, ist die Bedingung (4.1.22) äquivalent der Bedingung pλp(c|Ωλ) < α(c) , (4.1.23) α(c) = rf k − rz pjp(c|Ωj) , rf − rc j=1 die für λ = 1, . . . , k gelten muss. Die letzte Form ist für die Berechnung vorzuziehen, da die rechte Seite von (4.1.23) eine von λ unabhängige Größe α(c) ist, die rechte Seite von (4.1.22) dagegen nicht. Ist (4.1.23) oder (4.1.22) nicht für λ = 1, . . . , k erfüllt, so erfolgt eine Entscheidung für eine Klasse Ωκ aus den k Klassen Ωλ, λ = 1, . . . , k. Für die Prüfgröße uκ(c) dieser Klasse Ωκ gilt wegen (4.1.16) rf uκ(c) < uλ(c) , λ = 1, . . . , k , λ = κ k pjp(c|Ωj) + k (rc − rf)pκp(c|Ωκ) < rf pjp(c|Ωj) + (rc − rf)pλp(c|Ωλ) j=1 pκp(c|Ωκ) > pλp(c|Ωλ) , λ = 1, . . . , k , λ = κ . (4.1.24) Offensichtlich braucht (4.1.23) nur für diesen Index κ geprüft zu werden. Die allgemeine Entscheidungsregel (4.1.16) erhält also für die Kostenfunktion (4.1.19) wegen (4.1.23) und (4.1.24) die spezielle Form δ ∗ (Ωκ|c) = 1 , wenn pκp(c|Ωκ) = max λ∈{1,...,k} pλp(c|Ωλ) j=1 und pκp(c|Ωκ) ≥ α(c) , δ ∗ (Ω0 |c) = 1 , wenn pκp(c|Ωκ) < α(c) . (4.1.25) Es wird nun gezeigt, dass der Klassifikator, der gemäß (4.1.25) das Risiko minimiert, äquivalent einem Klassifikator ist, der bei fest vorgegebener Rückweisungswahrscheinlichkeit pz = pz0 die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert. Dafür wird zunächst die Rückweisungswahrscheinlichkeit pz berechnet. Mit (4.1.8) und (4.1.23) gilt pz = p(Ω0) = = pκ k pκp(Ω0 |Ωκ) κ=1 p(c|Ωκ)δ(Ω0 |c) dc Rc
4.1. STATISTISCHE ENTSCHEIDUNGSTHEORIE (VA.1.2.3, 13.04.2004) 313 Bild 4.1.2: Zur Veranschaulichung von (4.1.25): Für β = 0 gibt es keine Zurückweisungen, dafür aber Fehlklassifikationen im punktierten Bereich; für β = 0, 74 werden Muster im Bereich Ω0 zurückgewiesen, die Zahl der Fehlklassifikationen sinkt auf Kosten der Rückweisungen und auch die Zahl der richtigen Entscheidungen nimmt ab = pκ p(c|Ωκ) dc (4.1.26) {c|pλp(c|Ωλ)
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Vorwort, 1. Auflage Dieses Buch bes
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Dank Der Autor dankt für Hinweise
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