Klassifikation von Mustern

392 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
wobei · z. B. der EUKLID-Abstand ist. Die Approximation ist
ϕ(c) =
N
aϱ g (||c − ϱ c||) . (4.5.25)
ϱ=1
Diese Gleichung erinnert im Prinzip an die PARZEN-Schätzung in (4.2.142), S. 354. Eine mögliche
Basisfunktion ist die Normalverteilung. Es wird gefordert, dass für eine Stützstelle (bzw.
ein Trainingsmuster) j c der Funktionswert j ϕ und die Approximation ϕ( j c) übereinstimmen.
Das liefert das lineare Gleichungssystem
j ϕ = ϕ( j c) (4.5.26)
=
N
aϱ g || j c − ϱ c|| , j = 1, . . . , N (4.5.27)
ϱ=1
für die unbekannten Koeffizienten aϱ. Die Terme g (|| j c − ϱ c||) werden im ϱ–ten Knoten berechnet.
Um das zu ermöglichen werden die Gewichte festgelegt zu
wνϱ = ϱ cν . (4.5.28)
Die noch verbleibenden Parameter aϱ ergeben sich mit (4.5.26) zu
⎛
⎜
⎝
a1
.
aN
⎞
⎟
⎠ =
⎛
⎜
⎝
g (|| 1 c − 1 c||) . . . g || 1 c − N c||
.
g || N c − 1 c|| . . . g || N c − N c||
⎞−1
⎛
Mit (4.5.28) und (4.5.29) sind alle Parameter des Netzwerks bestimmt.
4.5.4 Merkmalskarte
⎟
⎠
⎜
⎝
1 ϕ
.
N ϕ
⎞
⎟
⎠ . (4.5.29)
Der als KOHONEN-Abbildung, Merkmalskarte oder auch topologische Karte bezeichnete Ansatz
erlaubt ein unüberwachtes Lernen von Ähnlichkeiten in Beobachtungen, d. h. es ist keine
klassifizierte Stichprobe zum Training erforderlich. Die Merkmalskarte stellt ähnliche Beobachtungsvektoren
in benachbarten Gebieten dar, sodass Ähnlichkeiten auch visuell erkennbar
sind.
Das Prinzip ist in Bild 4.5.6 gezeigt. Eine Menge von Ausgabegrößen (oder Ausgabeneuronen)
y0, y1, . . . , yM ′ −1 wird in einem zweidimensionalen Gitter angeordnet. Jedem Ausgabeneuron
yj ist ein Gewichtsvektor wj zugeordnet. Eine Beobachtung f (oder ein Merkmalsvektor c)
wird mit allen Gewichtsvektoren verglichen und mit der Minimumabstandsklassifikation wird
der ähnlichste Gewichtsvektor wκ ausgewählt, dessen zugehöriges Ausgabeneuron yκ aktiviert
wird. Durch ein geeignetes Training wird erreicht, dass Beobachtungen aus ähnlichen Klassen
auf benachbarte Ausgaben abgebildet werden. Die Klassen werden nicht vom Entwickler
vorgegeben, sondern im Training unüberwacht gelernt.
Wenn die Gewichtsvektoren trainiert sind, wird mit diesen die Ausgabe
yj =
M−1
wjifi = w T j f , 0 ≤ j ≤ M ′ − 1 (4.5.30)
i=0