Klassifikation von Mustern

90 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
Bild 2.3.2: Beispiel für die Faltung einer Funktion [fµ] mit zwei verschiedenen Impulsantworten
[gµ]
h genau (Mx + mx − 1)(My + my − 1) Abtastwerte. Die in (2.3.14), (2.3.15) angegebenen
Beziehungen lassen sich ohne weiteres auf Funktionen mit beliebiger Zahl von Variablen verallgemeinern.
Die Faltung ist eine lineare Nachbarschaftsoperation.
Es ist bei Zeitfunktionen zu beachten, dass ein verschiebungsinvariantes System nur dann
kausal ist, wenn
gj = 0 für j < 0 (2.3.16)
ist. Andernfalls würde wegen (2.3.10) die Systemreaktion bereits beginnen, ehe das Eingangssignal
beginnt. Die Forderung nach Kausalität spielt nur bei Zeitfunktionen eine Rolle, aber
nicht bei Ortsfunktionen, da die Ortskoordinaten in beiden Richtungen durchlaufen werden
können. Es sei noch erwähnt, dass ein System, dessen Impulsantwort der Bedingung
∞
∞
j=−∞ k=−∞
|gjk| < ∞ (2.3.17)
genügt, als stabil bezeichnet wird. Ist [fjk] eine Funktion, deren Elemente fjk < A für irgendein
endliches A und alle j, k sind, so heißt diese Funktion beschränkt. Ist eine beschränkte Funktion
die Eingangsgröße eines stabilen Systems, dann ist offensichtlich auch die Ausgangsgröße
beschränkt.
Ein schematisiertes Beispiel für die Faltung ist in Bild 2.3.2 gezeigt. Wie oben diskutiert
wurde, ist die Ausgangsgröße „breiter“ als die Eingangsgröße. Die erste Faltung bewirkt eine
Verschleifung der Änderungen von [fµ], die zweite eine Unterdrückung der konstanten Bereiche
beziehungsweise eine Hervorhebung der Änderungen. Ähnliche Ergebnisse werden auch mit
anderen ähnlichen Impulsantworten (s. Bild 2.3.8) erreicht.
Die Berechnung der Faltung gemäß (2.3.15) erfordert für Mx = My = M und mx = my =
m immerhin O(M 2 m 2 ) Operationen. Eine deutliche Reduktion der Komplexität ergibt sich,
wenn die Impulsantwort gµν die Bedingung der Separierbarkeit erfüllt, nämlich die spezielle