Klassifikation von Mustern

4.2. STATISTISCHE KLASSIFIKATOREN (VA.3.3.4, 29.09.2004) 333
Eine vierte Spezialisierung ist die konkrete Festlegung der Merkmale cx, die hier aber noch
offen gelassen wird. Eine fünfte Spezialisierung ist die Berechnung lokaler Merkmale nicht in
jedem Bildpunkt sondern nur in jedem m–ten sowie die Einführung einer Auflösungshierarchie.
Die zunächst rein formalen unterschiedlichen Faktorisierungen in (4.2.33) und (4.2.34) bedeuten
unterschiedliche Ansätze für die Modellierung. Für ein einfaches Beispiel wird als Merkmalsvektor
cx der Grauwert f verwendet, der Koordinatenvektor x auf eine Variable x beschränkt
und die Bedingung durch Objektklasse und –lage fortgelassen. Damit reduzieren sich
die bedingten Dichten auf p (x|cx, aκ, t, R) → p(x|f) und p (cx|x, aκ, t, R) → p(f |x). Im
Falle von (4.2.33) wird die Verteilungsdichte von x bedingt durch einen bestimmten Grauwert f
angegeben. Da die Merkmale im Prinzip beliebig sind, kann man z. B. auch die Verteilungsdichte
von x, allgemeiner von (x, y, t) T , bedingt durch einen Eckpunkt oder eine Kante angeben. Im
Falle von (4.2.34) wird die Verteilungsdichte der Grauwerte f bedingt durch einen bestimmten
Wert von x angegeben. Statt des Grauwertes f kann man z. B. auch die Verteilung von Waveletkoeffizienten
c(x,y) bedingt durch die Position (x, y) angeben.
Die Fülle der Möglichkeiten zur Definition stochastischer Objektmodelle ist damit angedeutet
aber nicht ausgeschöpft.
4.2.2 Parameterschätzung
Die Konstruktion statistischer Modelle erfordert die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten und
Modellparametern, wie der letzte Abschnitt zeigte. Das Prinzip der Schätzung von Wahrscheinlichkeiten
ist das Abzählen der Häufigkeit von Ereignissen, das bereits in Definition 2.3, S. 79,
oder in (3.9.9), S. 249, angewendet wurde.
Maximum-likelihood- und BAYES-Schätzung
Zwei typische Parameterschätzverfahren sind die Maximum-likelihood- und die BAYES-
Schätzung. Beide setzen eine Stichprobe ω von beobachteten Werten voraus, die dem zu modellierenden
Problemkreis entstammen und deren Elemente statistisch unabhängig sein müssen.
Wenn je Klasse eine repräsentative Stichprobe
ωκ = { ϱ cκ|ϱ = 1, . . . , Nκ, ϱ cκ ∈ R n } (4.2.35)
gegeben ist und die Stichprobenelemente statistisch unabhängig sind, so ist die Wahrscheinlichkeit
für die Beobachtung der Stichprobe
Nκ
p(ωκ|aκ) = p( ϱ cκ|aκ) , aκ ∈ R m . (4.2.36)
ϱ=1
Die Maximum-likelihood-Schätzung berechnet denjenigen Schätzwert der Parameter einer Verteilungsdichte,
der die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung der Stichprobe maximiert.
Definition 4.7 Der Maximum-likelihood-Schätzwert (MLS ) des Parameters aκ ist derjenige
Wert aκ, der die Wahrscheinlichkeit der Stichprobe maximiert, d. h.
aκ = argmax p(ωκ|aκ) . (4.2.37)
aκ