Klassifikation von Mustern

122 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
funktion, da die Interpolationsbedingung (2.5.9) entfällt. Der Preis ist, dass die Interpolationskoeffizienten
einen zusätzlichen Rechenaufwand erfordern, der jedoch bei geeigneter Wahl der
verallgemeinerten Interpolationsfunktion gallg gering ist.
Die Interpolationskoeffizienten aj ergeben sich daraus, dass man (2.5.14) ebenfalls für ganzzahlige
Werte x = µ auswertet
f(µ) =
aj gallg(µ − j) (2.5.15)
j
und fordert, dass die f(µ) = fµ mit den gegebenen Abtastwerten übereinstimmen. Für eine
gegebene Funktion gallg ergibt (2.5.15) ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der aj.
Wenn man Funktionen gallg mit endlichem Definitionsbereich und Funktionen f(x) mit endlich
vielen Abtastwerten betrachtet, hat man endlich viele Gleichungen für endlich viele Unbekannte.
Es gibt zahlreiche Ansätze zur effizienten Lösung des resultierenden Gleichungssystems, die
hier nicht betrachtet werden. Eine Alternative folgt aus der Beobachtung, dass (2.5.15) ebenfalls
eine diskrete Faltung ist und dass man folglich die Interpolationskoeffizienten durch Faltung mit
der inversen Impulsantwort bzw. der Faltungsinversen berechnen kann, nämlich
[fj] = [aj] ∗ [gj] ,
[aj] = [gj] −1 ∗ [fj] , (2.5.16)
δj = [gj] ∗ [gj] −1 .
Mit [gj] wird die diskrete Folge der Werte von gallg(j) bezeichnet, mit [gj] −1 die Faltungsinverse,
deren Existenz zunächst vorausgesetzt wird. Mit δj wird der Einheitsimpuls (2.3.3) bezeichnet.
Eine wichtige und sehr leistungsfähige Klasse von verallgemeinerten Interpolationsfunktionen
sind die B-Splines β m (x) vom Grade m = 0, 1, . . .. Für sie existieren insbesondere
effiziente Realisierungen der Faltungsinversen zur Berechnung der Interpolationskoeffizienten.
Die B-Splines sind definiert durch
β 0 (x) =
⎧
⎨
⎩
1 : |x| < 0, 5
0, 5 : |x| = 0, 5
0 : |x| > 0, 5
β m (x) = β 0 (x) ∗ β 0 (x) ∗ . . . ∗ β 0 (x)
m Faltungen
. (2.5.17)
Der B-Spline β 0 stimmt fast mit dem nächster-Nachbar Interpolator gnn überein.
Zwei hier interessierende B-Splines sind der lineare (m = 1) und der kubische (m = 3)
B-Spline, der auch als Spline dritten Grades bezeichnet wird. Der lineare B-Spline ist identisch
mit der linearen Interpolationsfunktion glin in (2.5.13), der kubische ist gegeben durch
β 3 ⎧
⎨
(x) =
⎩
1
2 |x|3 − |x| 2 + 2
1
6 (2 − |x|)3 : 1 ≤ |x| < 2
0 : 2 ≤ |x|
3 : 0 ≤ |x| < 1
. (2.5.18)
Sie sind in Bild 2.5.3 gezeigt. Offensichtlich sind sie auf ein endliches und zudem kleines Intervall
beschränkt. Das bedeutet, dass es bei Wahl eines B-Splines als verallgemeinerter Interpolationsfunktion
gallg in (2.5.14) nur wenige von Null verschiedene Werte und damit wenige
Summanden gibt, sodass eine effiziente Berechnung möglich ist.