Klassifikation von Mustern

396 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
c1 > Θ1
a)
❤
J ✁ ❆
✁ ❆❆❆❯ N
✁✁☛
c3 > Θ3 ❤
J ✁
❤c2
< Θ21
❈ N J ✄ ❆
✁ ❈❲ ✄✎ ❆❆❆❯ N
✁✁☛
c2 > Θ22 ❤
J ✁
✗✔ ✗✔
Ω3 Ω4
✖✕ ✖✕❤c4
> Θ4
❆
✁ ❆❆❆❯ N J
✁✁☛
✁ ❆
✁ ❆❆❆❯ N
✗✔ ✗✔ ✗✔ ✁✁☛ ✗✔
Ω1 Ω2 Ω2 Ω3
✖✕ ✖✕ ✖✕ ✖✕
Bild 4.6.2: Zwei Beispiele für Klassifikationsbäume
✗✔
b) Ω
✖✕
❅
❅
✗✔✠
✗✔
❅❘
Ω1
♣ ♣ ♣ Ωk
✖✕ ✖✕
✂ ❇ ✂ ❇
✂ ❇❇❇❇◆
✂ ❇❇❇❇◆
✂
✂
✂
✂
✗✔ ✂✌ ✗✔ ✗✔ ✂✌ ✗✔
Ω11
♣ ♣ ♣ Ω1k1
♣ ♣ ♣ Ωk1
♣ ♣ ♣ Ωkkk
✖✕ ✖✕ ✖✕ ✖✕
zwischen einem neuen Merkmal c und einem Prototypen cλ einer Klasse Ωλ ist nämlich
D (n) =
=
n
ν=1
n−1
ν=1
(cλν − cν) 2
(cλν − cν) 2 + (cλn − cn) 2
= D (n−1)
λ + (cλn − cn) 2 , (4.6.1)
d. h. der Abstand D (n) kann aus D (n−1) durch Addition eines weiteren Terms berechnet werden.
4.6.2 Klassifikationsbäume und hierarchische Klassifikation
Aus Bild 4.1.1, S. 310, und Bild 4.2.5, S. 350, geht hervor, dass die Klassifikation in einer Stufe
durchgeführt wird. Aus Satz 4.1 bis Satz 4.3 geht hervor, dass diese Vorgehensweise auch
in bestimmtem Sinne optimal ist. Trotzdem kann es praktisch zweckmäßig sein, eine Klassifikation
in mehreren Stufen vorzunehmen. Dafür gibt es die in Bild 4.6.2 gezeigten, prinzipiell
ähnlichen Ansätze. In Bild 4.6.2a wird ein binärer Klassifikationsbaum aufgebaut, bei dem in
jedem Knoten ein Merkmal mit einem Schwellwert verglichen wird. Der Klassifikationsbaum
(oder der Entscheidungsbaum) braucht i. Allg. nicht binär zu sein. In Bild 4.6.2b werden in einer
ersten Stufe die Klassen Ω1, . . . , Ωk unterschieden, in der zweiten Stufe wird diese Klassenein-
teilung weiter verfeinert in Ω11, . . . , Ωkkk
. Es sind auch mehr als zwei Stufen denkbar, und die
Art der verwendeten Merkmale wird i. Allg. von vorhergehenden Entscheidungen abhängen.
Eine Verfeinerung der Klassen wird entweder heuristisch festgelegt oder über Hierarchien von
Häufungsgebieten, worauf in Abschnitt 4.8.4 kurz eingegangen wird.
Aus Bild 4.6.3a geht hervor, dass ein binärer Klassifikationsbaum von der Art in Bild 4.6.2a
immer dann aufgebaut werden kann, wenn der Merkmalsraum durch ein rechtwinkliges Gitter
in Teilbereiche zerlegt wird. Aus Bild 4.6.3b geht hervor, dass ein derartiger Baum möglicherweise
effektiver (mit weniger logischen Abfragen) darstellbar ist, und Bild 4.6.3c zeigt schließlich,
dass auch beliebige rechteckige Gebiete auf Klassifikationsbäume zurückgeführt werden
können. Die gestrichelten Linien deuten an, dass jede rechteckige Aufteilung trivialerweise zu
einem rechtwinkligen Gitter erweitert werden kann, sodass Bäume wie in Bild 4.6.3c stets in