Klassifikation von Mustern

314 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
und pκp(c|Ωκ) ≥ α(c) .
Dieses entspricht dem ersten Teil von (4.1.25). Damit ist gezeigt, dass bei einer Entscheidung
gemäß (4.1.25) die Wahrscheinlichkeit pc einer korrekten Entscheidung maximiert wird. Dieses
Ergebnis wird zusammengefasst in
Satz 4.2 Für die spezielle Kostenfunktion (4.1.19) ergibt die Minimierung des Risikos die
Entscheidungsregel (4.1.25). Der damit arbeitende Klassifikator ist identisch mit dem Klassifikator,
der bei fester Rückweisungswahrscheinlichkeit die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert.
Zur Festlegung der Kosten (4.1.19) braucht man also statt der k(k + 1) Zahlen rλκ in (4.1.4)
nur die eine Zahl β in (4.1.27) bzw. pz in (4.1.26) zu wählen. Im Unterschied zu den „Kosten“
rλκ sind Rückweisungs- und Fehlerwahrscheinlichkeit unmittelbar anschauliche Größen.
Die (0, 1)–Kostenfunktion
In manchen Fällen ist eine Rückweisungsmöglichkeit unerwünscht. Wenn stets eine Entscheidung
für genau eine der k Klassen Ωκ getroffen werden soll, ist lediglich Ω0 auszuschließen.
In (4.1.6) ist dieses bereits mit aufgeführt, in (4.1.12) – (4.1.16) darf λ nur die Werte von 1
bis k durchlaufen; dann gilt die optimale Entscheidungsregel (4.1.16) auch bei Ausschluss der
Rückweisung, also bei erzwungener Entscheidung. Eine in diesem Fall häufig angewendete
Wahl der Kosten ist die sogenannte (0,1)–Kostenfunktion
rκκ = 0 ,
rλκ = 1 , λ = κ , κ, λ = 1, . . . , k . (4.1.30)
Das Risiko in (4.1.12) und (4.1.20) reduziert sich auf
V (δ) = pf . (4.1.31)
Die Minimierung des Risikos entspricht hier also der Minimierung der Fehlerwahrscheinlichkeit.
Für die Prüfgrößen uλ(c) in (4.1.13) erhält man
uλ(c) =
k
pκp(c|Ωκ) , λ = 1, . . . , k . (4.1.32)
k=1
κ=λ
Die Entscheidungsregel (4.1.16) ist bei dieser speziellen Kostenfunktion äquivalent der Regel
δ ∗ (Ωκ |c) =
1 : pκp(c|Ωκ) = max
λ pλp(c|Ωλ) ,
0 : λ = κ , λ = 1, . . . , k .
(4.1.33)
Ein Klassifikator, der die Entscheidungsregel (4.1.33) anwendet, wird auch als BAYES-
Klassifikator bezeichnet. Die von ihm erreichte Fehlerwahrscheinlichkeit wurde in Abschnitt
3.9 mit pB bezeichnet und ist unten in (4.1.38) angegeben. Es gibt keinen Klassifikator,
der unter den oben genannten Voraussetzungen eine geringere Fehlerwahrscheinlichkeit als pB