Klassifikation von Mustern

92 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
Definition 2.6 Für eine kontinuierliche Funktion f(x, y) ist die FOURIER-Transformation
F (ξ, η) definiert durch
F (ξ, η) =
∞
∞
−∞ −∞
f(x, y)exp[−i (ξx + ηy)] dx dy = FT{f(x, y)} . (2.3.20)
Die FOURIER-Transformierte existiert, wenn
∞
−∞
|f(x, y)| dx < ∞ und
∞
−∞
|f(x, y)| dy < ∞ . (2.3.21)
Zwischen den Funktionen f(x, y) und F (ξ, η) besteht ein eindeutig umkehrbarer Zusammenhang,
wenn f(x, y) stetig ist. An Unstetigkeitsstellen von f(x, y) sollte man diese durch den
Mittelwert ersetzen.
Satz 2.9 Ist F (ξ, η) die durch (2.3.20) definierte FOURIER-Transformation einer Funktion
f(x, y), so erhält man die Ausgangsfunktion aus dem Umkehrintegral
f(x, y) = 1
4π 2
∞
∞
−∞ −∞
F (ξ, η)exp[i (ξx + ηy)] dξ dη = FT −1 {F (ξ, η)} . (2.3.22)
Beweis: s. z. B. [Zygmund, 1968], S. 242–258, [Courant und Hilbert, 1953], II §6, bzw. unter
Verwendung der δ–Funktion [Niemann, 1973].
Wird die Funktion f(x, y) wie in (2.1.1), S. 62, an diskreten Stellen ∆x, ∆y abgetastet, so
entsteht die Folge [fjk] von Abtastwerten. Die Folge der Abtastwerte [fjk] ist vollständig bekannt,
wenn man die in (2.1.3) angegebenen MxMy Werte fjk kennt. Man kann nun gedanklich
die Folge der Abtastwerte in x– und y–Richtung periodisch fortsetzen, indem man
f(j + µMx, k + νMy) = f(j, k) = fjk
(2.3.23)
definiert. Damit erhält man eine Folge von Abtastwerten, die sich periodisch nach Mx Werten in
x–Richtung und nach My Werten in y–Richtung wiederholt. Somit kann eine endliche Folge von
Abtastwerten [fjk] als eine Periode einer gemäß (2.3.23) periodischen Folge aufgefasst werden.
Diese periodische Folge wird mit [ fjk] bezeichnet. Der Übergang zwischen beiden Folgen ergibt
sich aus
fj+µMx,k+νMy = fjk , µ, ν = 0, ±1, ±2, . . .
fjk = fjk , jeweils 0 ≤ j ≤ Mx − 1 , 0 ≤ k ≤ My − 1 . (2.3.24)
Der periodischen Folge [ fjk] lässt sich eine periodische Folge [ Fµν] von FOURIER-Koeffizienten
zuordnen. Dabei sei fjk, j, k = 0, 1, . . . , M − 1 eine periodische Folge von Abtastwerten im
Abstand ∆x, ∆y mit Periode xp, yp und Fµν eine periodische Folge von Werten im Abstand
∆ξ, ∆η mit der Periode ξp, ηp, die als FOURIER-Spektrum bezeichnet wird.