Klassifikation von Mustern

2.3. LINEARE OPERATIONEN (VA.1.4.2, 04.12.2005) 95
Bild 2.3.4: Jeweils oben ein Bild und unten die zugehörige DFT
als Frequenzgang bezeichnet. Bild 2.3.4 zeigt Beispiele für Funktionen und deren diskrete
FOURIER-Transformierte.
Bei allen Anwendungen der DFT auf endliche Folgen [fjk] gemäß (2.1.1) ist es äußerst
wichtig, stets daran zu denken, dass zumindest gedanklich [fjk] periodisch wiederholt wird.
Tatsächlich hat man es also nicht mit endlichen Folgen [fjk] und [Fµν] zu tun, sondern mit
unendlich periodischen Folgen [ fjk] und [ Fµν], obwohl man natürlich praktisch immer nur eine
Periode betrachten wird. Daraus folgt auch sofort, dass man mit der DFT nur Abtastwerte
von Funktionen f(x, y) verarbeiten darf, die gemäß (2.1.18) beziehungsweise (2.1.26) bandbegrenzt
sind, da nur dann das Spektrum auf eine Periode begrenzt werden kann. Dieses wird in
Bild 2.3.5 verdeutlicht. Es wird noch darauf hingewiesen, dass man (2.3.28) auch in der Form
Mx−1 My−1
−i 2πνk
Fµν =
fjk exp
−i 2πµj
exp
j=0
k=0
My
schreiben kann. Das bedeutet, dass man eine mehrdimensionale DFT stets auf mehrere eindimensionale
DFT zurückführen kann.
Die Bedeutung der DFT liegt in zwei Punkten. Zum einen ist es wegen Satz 3.3 in Abschnitt
3.2.1 mit der schnellen FOURIER-Transformation möglich, die DFT sehr effizient zu
berechnen. Zum anderen bietet die DFT eine weitere Möglichkeit, die Ausgangsgröße eines
verschiebungsinvarianten linearen Systems zu berechnen. Die Grundlage dafür bildet der folgende
Multiplikationssatz der FOURIER-Transformation. Er besagt in Worten, dass einer Multiplikation
zweier periodischer diskreter Folgen im Frequenzbereich deren zyklische Faltung im
Ortsbereich entspricht. Dieser Satz gilt analog auch für kontinuierliche Funktionen.
Es seien [ fjk] und [gjk] zwei periodische Folgen mit der gemeinsamen Periodenlänge
, die noch geeignet festzulegen ist. Für diese werden mit der DFT die periodischen
M ′ x , M ′ y
Mx