Klassifikation von Mustern

166 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
3.2 Orthogonale Reihenentwicklung (VA.1.2.2, 07.02.2004)
3.2.1 Allgemeine Beziehungen
Eine naheliegende Methode zur Merkmalsgewinnung besteht in der Entwicklung des Musters
f(x) nach einem orthonormalen Funktionensystem ϕν(x) oder des Vektors f von Abtastwerten
nach orthogonalen Basisvektoren ϕ ν. Im Prinzip kommt es dabei weniger auf die Orthogonalität
der Basisvektoren als auf die Eindeutigkeit der Entwicklungskoeffizienten an. Allerdings sind
die numerischen Rechnungen bei orthogonalen Basisvektoren besonders einfach. Die Heuristik
liegt in der Annahme, dass die Entwicklungskoeffizienten als Merkmale für die Klassifikation
von Mustern geeignet sind.
Definition 3.1 Eine Menge von Vektoren ϕ = {ϕ ν} spannt einen Vektorraum V auf, wenn sich
jedes Element aus V als Linearkombination von Vektoren aus ϕ darstellen lässt. Die Koeffizienten
der Linearkombination sind die Entwicklungskoeffizienten.
Wenn zu jedem Element aus V eindeutige Entwicklungskoeffizienten gehören, so bildet ϕ
eine Basis für V .
Die Menge von Vektoren ist orthogonal, wenn gilt
ϕ T µ ϕ ν = 〈ϕ µ, ϕ ν〉 =
αµ,ν : µ = ν ,
0 : sonst .
(3.2.1)
Wenn (3.2.1) gilt, heißt ϕ eine orthogonale Basis, und wenn αµ,ν = 1 ist, eine orthonormale
Basis.
Die Entwicklung eines Vektors f nach orthonormalen Basisvektoren aus ϕ ergibt die Entwicklungskoeffizienten
cν = ϕ T ν f = 〈f, ϕ ν〉 =
M−1
j=0
ϕνjfj oder c = Φf , (3.2.2)
wenn man die orthonormalen Basisvektoren ϕ T ν den Zeilen der Matrix Φ zuordnet. Bei dieser
Vorgehensweise wird also für Tr in (3.1.1) eine lineare Transformation gewählt, wobei linear
im Sinne von (2.3.2), S. 87, zu verstehen ist. Die Vektoren f und c haben M und n Komponenten,
M ≥ n, sodass die Matrix Φ die Größe nM hat. Die Umkehrung von (3.2.2) bzw. die
Rekonstruktion von f ergibt sich aus
f = Φ T c =
n
cνϕν . (3.2.3)
ν=1
Dabei ist f eine Approximation für f, und für n = M ist f = f, wenn die Basisvektoren
vollständig sind. Es gilt der folgende Satz.