Klassifikation von Mustern

242 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Bild 3.8.8: Zur Methode der projizierten Gradienten. Die Trennlinie H12 wurde hier nicht maßstäblich
gezeichnet, da nur das Prinzip verdeutlicht werden soll
wird c ′ 0 nur auf der Geraden gesucht, die durch Projektion des Gradienten von uκ(c ) auf diese
Hyperebene definiert ist. Der so eingeschränkte Punkt c0 muss uκ(c ) in (3.8.79) minimieren,
d. h. , er liegt in Richtung der negativen Projektion des Gradienten. Schließlich wird ein Punkt c1
als Schnittpunkt der Verbindungsgeraden zwischen c ′ 0 und µ κ mit Hκλ bestimmt. Dieser Punkt
c1 liegt also auf der Klassengrenze Hκλ und es ist uκ(c1) ≤ uκ(c0). Da es Fälle geben kann,
in denen ein solcher Schnittpunkt nicht existiert, wird die Rechnung sowohl für µ κ, uκ(c ) als
auch µ λ, uλ(c ) ausgeführt, da wenigstens bei einem Rechengang eine Lösung c1 existiert. Gibt
es in jedem Rechengang einen Schnittpunkt, so wird der gewählt, der den kleinsten Wert für uκ
liefert. Im Bild sind diese beiden Punkte mit c1 1 und c21 bezeichnet. Das Verfahren ist deshalb
möglich, weil die Minimierung von uκ(c ) und uλ(c ) mit der gemeinsamen Nebenbedingung
(3.8.81) die gleiche Lösung ergibt.
Algorithmus zur Bestimmung der uκλ gemäß (3.8.83) nach der Methode der projizierten
Gradienten:
5.1 Zur Bestimmung des Startpunktes c0 wird zunächst die Verbindungsgerade zwischen µ κ
und µ λ angegeben. Sie hat die Gleichung
c(θ) = µ κ + θ(µ λ − µ κ) . (3.8.89)
Um den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Klassengrenze Hκλ zu berechnen, setzt man
(3.8.89) in (3.8.81) ein und löst die quadratische Gleichung
0 = θ 2 a T (Σ −1
κ − Σ −1
λ )a + 2θaT Σ −1
a = µ λ − µ κ
λ a − aTΣ −1
λ a , (3.8.90)
nach θ auf. Die reelle Lösung θ1 mit 0 < θ1 < 1 ergibt mit (3.8.89) den Startpunkt
c0 = c(θ1) = µ κ + θ1(µ λ − µ κ) . (3.8.91)