Klassifikation von Mustern

326 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 2 4 6 8 10
γ = 0, 5
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 2 4 6 8 10
γ = 1, 0
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 2 4 6 8 10
γ = 2, 0
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0 2 4 6 8 10
γ = 4, 0
Bild 4.2.2: Standard Gammaverteilung für einige Werte des Formparameters γ
Statistische Unabhängigkeiten
Wenn man klassenweise statistische Unabhängigkeit der Merkmale annimmt, gilt
p(c|Ωκ) =
n
p(cν |Ωκ) . (4.2.13)
ν=1
Es genügt also, die n eindimensionalen Dichten der Merkmale cν zu schätzen. Neben der oben
für n-dimensionale Dichten geschilderten Vorgehensweise kommt dafür auch die Schätzung
der Dichte mit einem Histogramm (s. auch Abschnitt 2.2.2) in Frage. Die Speicherung der
Dichte erfordert dann die Speicherung der n Histogramme. Mit einem Histogramm können auch
multimodale Dichten geschätzt und statistische Abhängigkeiten erster Ordnung berücksichtigt
werden.
Im Allgemeinen gibt es viele Übergänge von vollständiger statistischer Abhängigkeit bis zu
vollständiger statistischer Unabhängigkeit, da jeweils einige Komponenten des Merkmalsvektors
von anderen abhängig bzw. unabhängig sein können. Einige Beispiele sind in (4.2.14) für
einen vierdimensionalen Merkmalsvektor c = (c1, c2, c3, c4) T gezeigt; dort wurde die Abhängigkeit
von der Klasse Ωκ fortgelassen.
⎧
p(c1, c2, c3, c4) : vollst. Abhängigkeit
p(c1)p(c2 |c1)p(c3 |c2, c1)p(c4 |c3, c2, c1) : vollst. Abhängigkeit
⎪⎨ p(c1)p(c2 |c1)p(c3 |c2, c1)p(c4 |c3, c2) : Abh. 2. Ordnung
p(c) =
p(c1)p(c2 |c1)p(c3 |c2)p(c4 |c3) : Abh. 1. Ordnung
⎪⎩
p(c3)p(c4 |c3)p(c1 |c4)p(c2 |c1) : Abh. 1. Ordnung
p(c1)p(c2)p(c3)p(c4) : vollst. Unabhängigkeit
(4.2.14)
Das Problem ist offenbar, die tatsächlich in der Stichprobe ω vorhandenen statistischen Abhängigkeiten
zu erfassen und in die Modellierung von p(c) einzubeziehen. Eine formale und
effiziente Erfassung von Unabhängigkeiten wird in den unten erwähnten BAYES-Netzen vorgenommen.
Mischungsverteilung
Die in (4.2.2) genannten Mischungsverteilungen lassen sich im Prinzip mit beliebigen parametrischen
Familien von Dichten bilden. Praktisch sinnvoll sind nur solche, die im Sinne von
Satz 4.19, S. 415, identifizierbar sind; dazu gehören Mischungen von Normalverteilungen, die
in der Mustererkennung besonders wichtig sind.