Klassifikation von Mustern

112 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
angewendet werden. Es handelt sich um nichtlineare Nachbarschaftsoperationen. Das Strukturelement
bestimmt die Nachbarschaft. Speziell bei binären Mustern reicht es, die Menge der
(diskreten) Koordinatentupel (j, k) anzugeben, für die das Muster den Wert Eins annimmt.
Hier wird an der in Abschnitt 2.1 eingeführten Notation festgehalten, die Muster als endliche
(ein– oder mehrdimensionale) Folge von Abtastwerten einer Funktion f(x) definiert; dafür
werden einige elementare Operationen auf Binärmustern angegeben und für weitere auf die
Literatur verwiesen. Das Strukturelement s ist dann eine Matrix von Koordinatentupeln s =
{(µ, ν)|µ = −m−, −m−+1, . . . , 0, . . . , m+−1, m+; ν = −n−, n−+1, . . . , 0, . . . , n+−1, n+}.
Spezielle Strukturelemente sind solche, die Liniensegmente oder Kreise approximieren sowie
Rechtecke, wobei der Referenzpunkt (0, 0) des Strukturelements durch Wahl von m−, n− festgelegt
wird.
Definition 2.8 Eine elementare morphologische Operation für Binärbilder ist die Erosion mit
dem Strukturelement s
h = f ⊖ s , (2.4.15)
1 : fj+µ,k+ν = 1 , ∀ (µ, ν) ∈ s ,
hjk =
0 : sonst ,
= min
(µ,ν)∈s {fj+µ,k+ν} .
Definition 2.9 Das Gegenstück (aber nicht die Inverse) zur Erosion ist die Dilatation für Binärbilder
mit dem Strukturelement s
h = f ⊕ s , (2.4.16)
1 : ∃(µ, ν) ∈ s , fj+µ,k+ν = 1 ,
hjk =
0 : sonst ,
= max
(µ,ν)∈s {fj+µ,k+ν} .
Erosion und Dilatation sind in dem Sinne duale morphologische Operationen als das Ergebnis
der Erosion von f dasselbe ist wie die Dilatation des Komplements f c = 1 − f und
die Verwendung des Komplements der Operation als Ergebnis. Die Operationen werden in
Bild 2.4.6 erläutert. Der Ursprung des Strukturelements wird auf den aktuellen Bildpunkt (j, k)
gelegt und die Bedingungen (2.4.15) bzw. (2.4.16) geprüft. Im gezeigten Fall ergibt die Erosion
hjk = 0, d. h. das Binärmuster wird am Rand verkleinert, die Dilatation ergibt hjk = 1. Die Bedingung
für die Dilatation bleibt auch noch erfüllt, wenn der Punkt (j, k) aus dem Binärmuster
herausgezogen wird, das Strukturelement aber noch eintaucht, d. h. das Binärmuster wird am
Rand vergrößert.
Die oben für Binärbilder definierten Operationen lassen sich in der Formulierung mit den
Minimum– und Maximumoperationen auch auf Grauwertbilder anwenden. Eine Verallgemeinerung
ergibt sich durch Verwendung eines Strukturelements s = {µ, ν, sµν}, das für jedes
Koordinatentupel (µ, ν) einen Wert sµν aus den Zahlen [smin, smax] annehmen kann. Man entnimmt
den Definitionen, dass ein Strukturelement mit M Bildpunkten, die alle den Wert Null
haben, genau wieder die Erosion bzw. Dilatation in (2.4.15) bzw. (2.4.16) oder auch in (2.4.9)
ergibt. Ansätze zur Bestimmung eines Strukturelementes und einer Folge von morphologischen
Operationen werden in der Literatur genannt.