Klassifikation von Mustern

238 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Es wird nochmals betont, dass das Ziel bei der nichtlinearen Hauptachsentransformation darin
besteht, die Berechnung der transformierten Vektoren φ( k f) überhaupt zu vermeiden. Daher
ist nicht (3.8.74) die gesuchte Lösung, sondern (3.8.75), da dort nur Skalarprodukte der transformierten
Vektoren auftreten. Die beiden Summen über N in (3.8.75) brauchen für eine N 2
Matrix nur N-mal, die Doppelsumme nur einmal ausgewertet zu werden.
3.8.4 Optimale lineare Transformationen
Unter dieser Überschrift fassen wir lineare Transformationen zusammen, die nicht notwendig
auch orthogonal sind und die ein auf dem Klassifikationsrisiko basierendes Gütekriterium optimieren.
Die bisherige Vorgehensweise, die Merkmalsgewinnung unabhängig vom Klassifikator
betrachtete, ist nun nicht mehr möglich. Dafür ergibt sich der Vorteil, dass man Merkmale erhält,
die speziell auf einen Klassifikatortyp zugeschnitten sind; daher wird diese Vorgehensweise
auch als klassifikatorbezogene Merkmalsauswahl bezeichnet. Da Klassifikatoren erst im
nächsten Kapitel behandelt werden, ist hier ein Vorgriff auf dort abgeleitete Ergebnisse erforderlich.
Danach ist der sogenannte BAYES-Klassifikator ein sehr allgemeines Konzept, das die
Minimierung der mittleren Kosten oder des Risikos bei der Klassifikation erlaubt. Je nach Anwendungsfall
kann man die Kosten unterschiedlicher Fehlklassifikationen und Rückweisungen
geeignet wählen. Nach (4.1.10), S. 309, ist das minimale Risiko durch
V (δ ∗ k k
) = pκ rλκ p(c|Ωκ)δ
κ=1 λ=0 Rc
∗ (Ωλ |c ) dc (3.8.76)
definiert, wobei δ ∗ die optimale Entscheidungsregel gemäß Definition 4.2, S. 309, ist und die
sonstigen in dieser Gleichung auftretenden Größen in Abschnitt 4.1 erläutert werden. Durch
geeignete Wahl der Terme rλκ geht das Risiko V in die Fehlerwahrscheinlichkeit pf des Klassifikators
über (s. Abschnitt 4.1.4 und (4.1.31), S. 314). Sind die Merkmale c mit (3.2.2) berechnet
worden, so ist das Risiko eine Funktion von Φ, und das Problem besteht darin, die Transformationsmatrix
Φ zu berechnen, die das Risiko V minimiert. Man hätte dann eine bezüglich
des Risikos optimale lineare Transformation zur Merkmalsgewinnung. Im Prinzip ist auch eine
nichtlineare Transformation von der Form
c = ϕ(f, a) (3.8.77)
möglich, in der ϕ eine parametrische Familie von Funktionen und a ein Parametervektor ist. In
diesem Falle ist a so zu bestimmen, dass V minimiert wird. Bedingungen für die Existenz optimaler
Parameter a sind bekannt; sie sind so allgemein, dass sie als nicht kritisch zu betrachten
sind. Das Problem liegt jedoch in der tatsächlichen Berechnung des Parametervektors a bzw.
der Transformationsmatrix Φ. Selbst zur Berechnung der linearen Transformation sind weitere
einschränkende Annahmen zu treffen. Eines der bei der Lösung auftretenden Probleme besteht
darin, dass man die bedingte Dichte p(f |Ωκ) der Muster kennen oder ermitteln muss und dass
man die zugehörige Dichte p(c|Ωκ) berechnen muss, wenn c = Φf ist. Diese Diskussion sollte
die mit einem allgemeinen theoretischen Ansatz verbundenen Probleme aufzeigen.
Wenn die Komponenten des Merkmalsvektors c klassenweise normalverteilt sind, erhält
man als Prüfgrößen u ′ κ des Klassifikators, der die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert (s.
(4.2.118), S. 349)
u ′ κ (c ) = (c − µ κ) T Σ −1
κ (c − µ κ) + γκ . (3.8.78)