Klassifikation von Mustern

4.1. STATISTISCHE ENTSCHEIDUNGSTHEORIE (VA.1.2.3, 13.04.2004) 311
4.1.4 Zwei spezielle Kostenfunktionen
In diesem Abschnitt werden zwei Klassifikatoren betrachtet, die sich aufgrund spezieller Kostenfunktionen
ergeben.
Die (rc, rz, rf)–Kostenfunktion
Als erstes wird die Kostenfunktion
rκκ = rc ,
r0κ = rz , κ, λ = 1, . . . , k
rλκ = rf , λ = κ (4.1.19)
betrachtet. Es wird also angenommen, dass die Kosten der richtigen Klassifikation, bzw. der
Rückweisung, bzw. der falschen Klassifikation für unterschiedliche Klassen jeweils gleich sind.
Diese drei Möglichkeiten treten mit den Wahrscheinlichkeiten pc, bzw. pz, bzw. pf auf. Aus der
Definition des Risikos als mittlere Kosten ergibt sich
V (δ) = rcpc + rzpz + rfpf . (4.1.20)
Der optimale Klassifikator im Sinne von (4.1.11) berechnet wieder die (k + 1) Prüfgrößen
(4.1.13). Aufgrund der spezialisierten Kostenfunktion ergibt sich die spezialisierte Entscheidungsregel
in (4.1.25), sowie ein Zusammenhang zwischen Kosten, Fehler– und Rückweisungswahrscheinlichkeiten.
Die Ergebnisse der folgenden längeren Rechnung sind in Satz 4.2 zusammengefasst.
Für die Kostenfunktion (4.1.19) ergeben sich die Prüfgrößen zu
u0(c) = rz
uλ(c) = rf
k
pjp(c|Ωj)
j=1
k
pjp(c|Ωj) + rcpλp(c|Ωλ) . (4.1.21)
j=1
j=λ
Eine Rückweisung erfolgt gemäß (4.1.16), wenn
u0(c) < uλ(c) , λ = 1, . . . , k
ist. Das ergibt die Bedingung
rz pjp(c|Ωj) <
rf pjp(c|Ωj) + rcpλp(c|Ωλ) ,
rz
j
pjp(c|Ωj) + rzpλp(c|Ωλ) < rf pjp(c|Ωj) + rcpλp(c|Ωλ) ,
j=λ
j=λ
j=λ
pλp(c|Ωλ) < rf − rz
rz − rc
k
pjp(c|Ωj) . (4.1.22)
j=1
j=λ