Klassifikation von Mustern

2.2. SCHWELLWERTOPERATIONEN (VA.1.1.2, 27.12.2003) 85
Die obige Gleichung (2.2.20), die sich in (2.2.15) bzw. in (2.2.18) umformen lässt, ist ein Maß
für die Streuung σz zwischen den beiden Klassen, und
σi = p(Ω l 1 )σ2 1 + p(Ωl 2 )σ2 2
(2.2.23)
ist ein Maß für die Streuung innerhalb dieser Klassen. Für eine gute Klassentrennung sollte σz
groß und σi klein sein. Ein geeignetes Gütekriterium für den Schwellwert ist daher auch das
Verhältnis dieser beiden Streuungen, also
G (2)
l = p(Ωl 1) (µ1 − µ) 2 + p(Ω l 2) (µ2 − µ) 2
p(Ω l 1)σ 2 1 + p(Ω l 2)σ 2 2
. (2.2.24)
Dieses Kriterium ist aus der Diskriminanzanalyse (s. Abschnitt 3.8.2) bekannt. Auch hier wird
analog zu (2.2.16) der Wert l∗ bestimmt, für den G (2)
l maximiert wird. Die Verallgemeinerung
von (2.2.24) auf mehrere Schwellwerte, analog zu (2.2.21), ist offensichtlich.
2.2.5 Unsicherheit und Homogenität
Ein aufwendiger zu berechnender Schwellwert kann aus der Kombination von informationstheoretisch
gemessener Unsicherheit der beiden Klassen „Objekt“ und „Hintergrund“ mit der
Homogenität der entstehenden Klassenregionen bestimmt werden.
Wie oben in Abschnitt 2.2.4 werden mit dem Schwellwert θ = bl die zwei Klassen Ω l 1
bzw. Ω l 2 unterschieden, die die a priori Wahrscheinlichkeiten p(Ω l 1) bzw. p(Ω l 2) haben. Die a
posteriori Wahrscheinlichkeiten der beiden Klassen sind
p(Ω l 1 |fj,k = bν) = p(fj,k = bν |Ω l 1 ) p(Ωl 1 )
p(fj,k = bν)
p(Ω l 2 |fj,k = bν) = p(fj,k = bν |Ω l 2 ) (1 − p(Ωl 1 ))
p(fj,k = bν)
. (2.2.25)
Die Wahrscheinlichkeiten p(fj,k = bν |Ωl κ ), κ = 1, 2, können z. B. durch Normalverteilungen
approximiert werden. Die Entropie der beiden a posteriori Wahrscheinlichkeiten ist ein Maß für
die Unsicherheit, einen Bildpunkt nach Ω1 bzw. Ω2 zu klassifizieren, wenn man den Grauwert
fj,k = bν beobachtet hat und den Schwellwert θ = bl verwendet. Die Klassenunsicherheit
Hl (fj,k) ist daher
H l (fj,k) = −
2
p(Ω l κ |fj,k = bν) log p(Ω l κ |fj,k = bν) . (2.2.26)
κ=1
Damit kann die Klassenunsicherheit für jeden Schwellwert und jeden Grauwert berechnet werden.
Die Homogenität einer Region von Grauwerten wird als Eigenschaft eines Bildpunktes
fj,k definiert, die vom „Zusammenhang“ benachbarter Bildpunkte abhängt. Sie wird gemessen
durch eine Funktion h(fj,k), zu deren genauer Definition aus Platzgründen auf die Literatur
verwiesen wird.