Klassifikation von Mustern

2.1. KODIERUNG (VA.1.2.3, 18.05.2007) 71
Die Annahme (2.1.35) ist problematisch, da es Signale geben kann, die ihr nicht genügen. Setzt
man (2.1.33), (2.1.34), (2.1.36) in (2.1.29) ein, erhält man
r ′ = 12 · 2 2B−6
. (2.1.37)
Zusammen mit (2.1.30) ergibt sich daraus (2.1.31), sodass der Beweis von Satz 2.4 vollständig
ist.
Aus (2.1.31) folgt, dass ein bit mehr oder weniger eine Erniedrigung oder Erhöhung des
Quantisierungsfehlers um 6dB bedeutet. Diese Aussage gibt zwar einen ersten quantitativen
Eindruck vom Einfluss der Quantisierungsstufen auf die Genauigkeit der Darstellung. Sie sagt
aber wenig darüber aus, wie viele Stufen oder bit man tatsächlich nehmen sollte. Dafür ist eine
genaue Untersuchung der Verarbeitungskette gemäß Bild 1.4.1 oder Bild 2.1.1 – je nach Anwendungsfall
– erforderlich. In Bild 2.1.1 ist am Schluss ausdrücklich die Wiedergabe der Muster
erwähnt, also die Darstellung für einen menschlichen Beobachter. In diesem Falle wird die
Zahl der Quantisierungsstufen so gewählt, dass der subjektive Eindruck des Beobachters, z. B.
beim Anhören von Sprache oder Ansehen eines Bildes, zufriedenstellend ist. Letzterer Begriff
ist sehr dehnbar, da „zufriedenstellend“ bei Sprache die Verständlichkeit sein kann oder auch
die subjektiv als verzerrungsfrei empfundene Wiedergabe. Grundsätzlich ist die Quantisierung
der Amplitudenstufen deshalb möglich, weil ein Mensch zwei Sinneseindrücke – gleichgültig
ob Druck, Helligkeit, Lautstärke usw. – nur dann subjektiv unterscheiden kann, wenn ihre Intensitäten
sich um einen bestimmten Mindestwert unterscheiden (WEBER–FECHNER-Gesetz).
Erfahrungsgemäß gelten bei Sprache 11 bit, bei Grauwertbildern 8 bit und bei Farbbildern 8
bit je Farbkanal als ausreichend für gute subjektive Qualität bei der Wiedergabe. Zum Beispiel
gilt dann bei den quantisierten Grauwertbildern fjk ∈ {0, 1, . . . , 255}. In Bild 1.4.1 kommt es
nicht auf die Wiedergabe, sondern die Klassifikation eines Musters an. Es fehlen systematische
Untersuchungen über den Einfluss der Zahl der Quantisierungsstufen auf die Klassifikatorleistung.
Meistens orientiert man sich daher bei der Wahl der Stufenzahl ebenfalls am subjektiven
Eindruck eines Beobachters.
Es ist naheliegend, eine Quantisierungskennlinie zu suchen, die ein definiertes Gütekriterium
optimiert. Ein mögliches Kriterium ist der mittlere quadratische Fehler
ε =
L
ν=1
aν+1
aν
(f − bν) 2 p(f) df , (2.1.38)
wobei sich die Bezeichnungen aus Bild 2.1.7 ergeben. Alle Werte aν ≤ fj < aν+1 werden
also durch den quantisierten Wert bν dargestellt. Nach der obigen Diskussion wäre zwar für die
Wiedergabe ein Kriterium, das den subjektiven Fehlereindruck des Beobachters oder die Leistung
eines Klassifikationssystems bewertet, vorzuziehen. Wegen der einfacheren mathematischen
Behandlung wird hier aber nur (2.1.38) verwendet. Die optimale Quantisierungskennlinie
ist durch die Werte aν, bν gekennzeichnet, für die der Fehler ε in (2.1.38) minimiert wird.
Satz 2.5 Die optimalen Werte aν, bν, welche (2.1.38) minimieren, sind gegeben durch
aν = bν−1 + bν
, ν = 2, 3, . . . , L = 2
2
B , (2.1.39)
aν+1
fp(f) df
aν
bν = aν+1 , ν = 1, . . . , L . (2.1.40)
p(f) df
aν
Dabei ist p(f = aν) = 0 vorausgesetzt.