Klassifikation von Mustern

432 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
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Bild 4.8.8: Ein Beispiel für eine „inkonsistente“ Kante E1 in einem Minimalbaum
beiden disjunkten Teilmengen K ′ und K ′′ von Kanten ergibt. Im Folgenden werden zur Definition
einer inkonsistenten Kante zwei Knoten Ki, Kj ∈ K betrachtet; die zugehörige Kante Eij
hat das Gewicht dij. Man bestimmt die Menge der Kanten, die von Ki bzw. Kj in nicht mehr als
δ Schritten erreichbar sind, außer der Kante Eij von Ki nach Kj. Man bestimme die mittleren
Gewichte µi(δ), µj(δ) dieser Kanten sowie deren Streuungen σi(δ), σj(δ). Die Kante Eij wird
als inkonsistent eliminiert, wenn einige oder alle der folgenden Bedingungen erfüllt sind
1) |dij − µi(δ)| > γ1 σi(δ) ,
2) |dij − µj(δ)| > γ1 σj(δ) ,
3) dij > γ2 µi(δ) ,
4) dij > γ2 µj(δ) .
(4.8.51)
Diese Prüfung auf Inkonsitenz wird für alle Kanten des Minimalbaumes durchgeführt. Das
Ergebnis hängt ab von der Tiefe δ, von den Faktoren γ1 und γ2 sowie von der Kombination der
vier Bedingungen, die zur Elimination führen. Diese Strategie eignet sich für deutlich getrennte
Punktmengen (oder “Cluster”, Ballungsgebiete, Häufungsgebiete).
4.8.6 Bemerkungen
In diesem Kapitel wurden in den verschiedenen Abschnitten übergeordnete Ansätze zum Lernen
bzw. zur automatischen Ermittlung von Klassenbereichen vorgestellt. Wegen der Fülle des
veröffentlichten Materials konnten hier zu jedem übergeordneten Ansatz beispielhaft jeweils
nur wenige spezielle Algorithmen und Gleichungen angegeben werden. Es stellt sich die Frage,
welche Lernverfahren vorzuziehen sind. Eine gewisse Auswahl ergibt sich aus der Problemstellung,
z. B. für überwachtes Lernen Verfahren von Abschnitt 4.2 – Abschnitt 4.5, für unüberwachtes
Lernen Verfahren von Abschnitt 4.8.2 – Abschnitt 4.8.5. Trotzdem bleibt noch
eine Vielzahl möglicher spezieller Lernalgorithmen. Auswahlkriterien können hier das Konvergenzverhalten
und der Rechenaufwand sein. Leider ist das Konvergenzverhalten praktisch aller
Verfahren bisher nur mangelhaft bekannt, und da das Konvergenzverhalten bei iterativen Algorithmen
den Rechenaufwand bestimmt, ist auch dieser kaum vorherzusagen. Im Unterschied
zu einem Konvergenzbeweis, der für N → ∞ geführt wird, ist es für die praktische Anwendung
eines Algorithmus entscheidend, ob man bei einem realistischen Problem eine akzeptable
Klassifikatorleistung mit vertretbarem Rechenaufwand und einer begrenzten Stichprobe erzielen
kann; die konkreten Anforderungen werden von Fall zu Fall unterschiedlich liegen.
Konvergenzbeweise sind für einige Algorithmen möglich und wurden jeweils erwähnt. Etwas
übertrieben, aber durch die Übertreibung verdeutlichend, kann man sagen, dass ein Konvergenzbeweis
für die praktische Anwendung eines Lernalgorithmus nicht unbedingt notwendig
oder hinreichend ist. Er braucht nicht notwendig zu sein, weil es z. B. in kommerziellen Geräten