Klassifikation von Mustern

312 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
Da man die Prüfgrößen uλ, λ = 0 auch in der Form
uλ(c) = rf
k
pjp(c|Ωj) + (rc − rf)pλp(c|Ωλ)
j=1
angeben kann, ist die Bedingung (4.1.22) äquivalent der Bedingung
pλp(c|Ωλ) < α(c) , (4.1.23)
α(c) = rf
k − rz
pjp(c|Ωj) ,
rf − rc
j=1
die für λ = 1, . . . , k gelten muss. Die letzte Form ist für die Berechnung vorzuziehen, da die
rechte Seite von (4.1.23) eine von λ unabhängige Größe α(c) ist, die rechte Seite von (4.1.22)
dagegen nicht.
Ist (4.1.23) oder (4.1.22) nicht für λ = 1, . . . , k erfüllt, so erfolgt eine Entscheidung für eine
Klasse Ωκ aus den k Klassen Ωλ, λ = 1, . . . , k. Für die Prüfgröße uκ(c) dieser Klasse Ωκ gilt
wegen (4.1.16)
rf
uκ(c) < uλ(c) , λ = 1, . . . , k , λ = κ
k
pjp(c|Ωj) +
k
(rc − rf)pκp(c|Ωκ) < rf pjp(c|Ωj) + (rc − rf)pλp(c|Ωλ)
j=1
pκp(c|Ωκ) > pλp(c|Ωλ) , λ = 1, . . . , k , λ = κ . (4.1.24)
Offensichtlich braucht (4.1.23) nur für diesen Index κ geprüft zu werden.
Die allgemeine Entscheidungsregel (4.1.16) erhält also für die Kostenfunktion (4.1.19) wegen
(4.1.23) und (4.1.24) die spezielle Form
δ ∗ (Ωκ|c) = 1 , wenn pκp(c|Ωκ) = max
λ∈{1,...,k} pλp(c|Ωλ)
j=1
und pκp(c|Ωκ) ≥ α(c) ,
δ ∗ (Ω0 |c) = 1 , wenn pκp(c|Ωκ) < α(c) .
(4.1.25)
Es wird nun gezeigt, dass der Klassifikator, der gemäß (4.1.25) das Risiko minimiert,
äquivalent einem Klassifikator ist, der bei fest vorgegebener Rückweisungswahrscheinlichkeit
pz = pz0 die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert. Dafür wird zunächst die Rückweisungswahrscheinlichkeit
pz berechnet. Mit (4.1.8) und (4.1.23) gilt
pz = p(Ω0) =
= pκ
k
pκp(Ω0 |Ωκ)
κ=1
p(c|Ωκ)δ(Ω0 |c) dc
Rc