Klassifikation von Mustern

224 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
3. Mittlerer quadratischer Abstand von Merkmalen der gleichen Klasse (Intraklassenabstand),
definiert durch
s3 = 1
k
k
1
Nκ Nκ
N
κ=1
2 κ i=1 j=1
icκ − j T icκ cκ − j
cκ . (3.8.3)
4. Mittlerer quadratischer Abstand der Klassenzentren bzw. der bedingten Mittelwerte µ κ
der Merkmale cκ
s4 =
2
k(k − 1)
k κ−1
(µ κ − µ λ) T (µ κ − µ λ) . (3.8.4)
κ=2 λ=1
Für die Klassifikation ist es günstig, wenn s1, s2 und s4 groß sind und wenn s3 klein ist. Da c
mit (3.2.2) von Φ abhängt, ist
sl = sl(Φ) , l = 1, . . . , 4 . (3.8.5)
Gesucht wird die Transformationsmatrix Φ (l) , die für eine vorgegebene Merkmalszahl, d. h. für
ein bestimmtes n, sl optimiert. Zum Beispiel muss gelten, dass s1 bezüglich Φ maximiert wird.
Berechnung der Merkmale
Die Berechnung der im Sinne obiger Kriterien optimalen Merkmale lässt sich auf das bekannte
Problem der Maximierung (bzw. Minimierung) einer quadratischen Form zurückführen. Das
wesentliche Ergebnis wird zunächst in einem Satz zusammengefasst. Für die Berechnung der
Transformationsmatrizen gilt:
Satz 3.8 Die Transformationsmatrix, die das Kriterium sl, l = 1, . . . , 4 optimiert, werde
mit Φ (l) bezeichnet. Man erhält Φ (l) indem man die Eigenvektoren ϕ (l)
ν einer geeigneten
symmetrischen Kernmatrix Q (l) berechnet, d. h. die Gleichung
Q (l) ϕ (l)
ν
= λ(l) ν ϕ(l) ν
(3.8.6)
löst, wobei die λ (l)
ν die Eigenwerte von Q (l) sind. Zur Maximierung von s1 bzw. s2 sind die
n Eigenvektoren ϕ (1)
ν bzw. ϕ (2)
ν zu berechnen, die zu den n größten Eigenwerten λ (1)
ν bzw.
λ (2)
ν , ν = 1, . . . , n der Kerne Q (1) bzw. Q (2) gehören. Zur Minimierung von s3 sind entspre-
chend die zu den kleinsten Eigenwerten von Q (3) gehörigen Eigenvektoren zu bestimmen.
Die so ermittelten n Eigenvektoren ϕ (l)
ν werden den n Zeilen von Φ (l) zugeordnet.
Die Transformationsmatrix ist also
⎛ ⎞
Φ (l) ⎜
= ⎜
⎝
ϕ (l) T
1
ϕ (l) T
2
.
ϕ (l)
n
T
⎟ . (3.8.7)
⎟
⎠