Klassifikation von Mustern

74 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
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Bild 2.1.9: Beispiele für die Zerlegung einer Ebene und zugeordnete Kodewörter.
Der Quantisierungsfehler ist in direkter Verallgemeinerung von (2.1.38)
L
ε = |f − bν| 2 p(f) df . (2.1.43)
ν=1
Vν
Die Intervallgrenzen waren in (2.1.38) und Bild 2.1.7 Punkte auf der reellen Achse, während
es nun im Prinzip beliebige Linien in der Ebene bzw. im n–dimensionalen Fall beliebige Teilvolumina
Vν des R n sind. Daher ist die geschlossene Lösung durch Ableiten nach den Intervallgrenzen
und den Kodewörtern hier nicht möglich. Die Teilvolumina und Kodewörter lassen
sich jedoch iterativ bestimmen, wofür der folgende Satz die Basis bildet.
Satz 2.6 Wenn ein Kodebuch B = {bν | ν = 1, . . . , L} gegeben ist, dann erfordert die
Minimierung des Fehlers ε, dass Vektoren f den Volumina Vν zugeordnet werden gemäß der
Regel
wenn |f − bκ| 2 ≤ |f − bν| 2 für alle ν = κ , dann f ∈ Vκ . (2.1.44)
Wenn eine Zerlegung des R n in Teilvolumina Vν gegeben ist, dann sind die besten Kodewörter
definiert durch
bν = E{f | f ∈ Vν} , ν = 1, . . . , L . (2.1.45)
Die Regel (2.1.44) wird in Abschnitt 4.2.5 als Minimumabstandsklassifikator eingeführt. Sie
ist intuitiv einleuchtend, da ein beobachteter Wert f dem Volumen Vν zugeordnet wird, zu dessen
Kodewort es den kleinsten Abstand hat. Der beste Prototypvektor bzw. das beste Kodewort
für ein Teilvolumen Vν ist nach (2.1.45) der Mittelwert der in diesem Volumen beobachteten
Werte. Er wird numerisch geschätzt aus der Gleichung
bν = 1
f , (2.1.46)
Nν
f ∈Vν
wobei Nν die Zahl der in Vν beobachteten Werte f ist.
Aus (2.1.44) folgt, dass die Grenze zwischen zwei Intervallen durch die Mittelsenkrechte
zwischen den Kodewörtern definiert ist. Daher ist die Zerlegung in Bild 2.1.8 nicht optimal
im Sinne des Fehlers ε in (2.1.43). Bild 2.1.9 zeigt zwei Beispiele für Zerlegungen, die den
Bedingungen von Satz 2.6 genügen.
Es bleibt nun noch zu klären, wie ein Iterationsverfahren zur Bestimmung des Kodebuches
und damit der Kodewörter aussieht. Im Prinzip kommen dafür Algorithmen zur Ermittlung
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