Klassifikation von Mustern

198 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
0.08
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0.02
0
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1
0.8
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0.2
0
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y 0
0
eta
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2
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4
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4
0.4
2
0 x
0
xi
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-0.2
-4
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0.06
0.04
0.02
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-0.02
-0.04
-0.06
1
0.8
0.6
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0.2
0
-0.4 -0.4
-4
-0.2
-2
y 0
0
eta
0.2
2
0.4
4
0.6
Bild 3.4.3: Das Bild zeigt oben von links nach rechts GABOR-Funktionen für φ = θ =
0 o , 45 o , 90 o und unten von links nach rechts den Frequenzgang dieser Funktionen
Das Ergebnis der Faltung lässt sich über die GAUSS-gefensterte FOURIER-Transformation
berechnen. Diese ist ein Spezialfall einer „Kurzzeittransformation“ (s. Abschnitt 3.2.3 und Abschnitt
3.6.1), hier im Orts– und nicht im Zeitbereich, und entsteht dadurch, dass man eine
Fensterfunktion endlicher Ausdehnung, in diesem Falle die GAUSS-Funktion aus (3.4.1), an
einer Stelle (x0, y0) des Bildes positioniert, beide multipliziert und das Ergebnis FOURIERtransformiert.
Durch die Fensterung wird also ein lokaler Bildbereich herausgeschnitten und
dessen Grauwerte mit der Fensterfunktion bewichtet. Man erhält mit (3.2.47), S. 176, für die
gefensterte FOURIER-Transformierte von f
∞ ∞
1
F[x0,y0](ξ, η) = f(x, y) exp −
−∞ −∞ 2πσ2 1
(x − x0)
2
2
σ2 + (y − y0) 2
σ2
exp[−i 2π(ξx + ηy)] dx dy . (3.4.6)
Es gilt der Satz
Satz 3.5 Das Ergebnis der GABOR-Filterung mit Filterparametern (σ, ξ0, η0), angewendet
am Ort (x0, y0), stimmt bis auf einen komplexen Faktor, der den Betrag 1 hat, mit dem Ergebnis
der GAUSS-gefensterten FOURIER-Transformation an der Frequenz (ξ0, η0) überein
h(x0, y0) = αF[x0,y0](ξ0, η0)
0.6
4
0.4
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0 x
0
xi
0.2
= exp[i 2π(ξ0x0 + η0y0)] F[x0,y0](ξ0, η0) , (3.4.7)
|h(x0, y0)| = |F[x0,y0](ξ0, η0)| .
Beweis: s. z. B. [Dunn und Higgins, 1995], bzw. durch Umformungen des Faltungsintegrals
(3.4.5).
Dieser Satz besagt insbesondere, dass die GAUSS-gefensterte FOURIER-Transformation –
mit variablen Werten für (ξ, η) – einer GABOR-Filterung mit einer Menge von GABOR-Filtern
mit einem Kontinuum von Parameterwerten für (ξ0, η0) entspricht. Diese ist effizient über den
Multiplikationssatz, Satz 2.12, S. 96, berechenbar. Die Auswertung wird natürlich diskret erfol-
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y 0
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