Klassifikation von Mustern

240 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Bild 3.8.7: Klassengrenzen Hκλ eines Minimumabstandsklassifikators und Bedeutung der uκm
und uκλ in (3.8.82) und (3.8.83). In diesem speziellen Fall ist u21 = u23 = u2m, aber z. B.
u12 < u13, also u12 = u1m. Muster aus Ω1, die innerhalb des Kreises mit Radius u1m liegen,
werden mit Sicherheit richtig klassifiziert
Gesucht ist die Transformationsmatrix Φ, welche s6 minimiert, und im Folgenden wird gezeigt,
wie Φ zu berechnen ist.
Zunächst überzeugt man sich leicht, dass die Größen uκ(c ) in (3.8.79) invariant gegenüber
einer linearen Transformation der Merkmale c mit einer regulären Matrix sind. Ist Φ eine
optimale Matrix, die s6 minimiert, so erhält man Merkmale aus
c = Φf .
Ist B eine reguläre n 2 Matrix, so ergibt sich für Merkmale
c ′ = Bc = BΦf = Φf (3.8.86)
der gleiche Wert von uκ und damit von s6 wie für Merkmale c; d. h. auch Φ ist eine optimale
Matrix. Wenn die n Zeilen von Φ linear unabhängig sind, definiert man eine Matrix B −1 ,
welche z. B. die ersten n Spalten von Φ enthält. Dann gilt
Φ = BΦ
= B(B −1 |ΦRest)
=
=
(I|BΦRest)
⎛
1 0 . . .
⎜ 0 1 . . .
⎜
⎝ .
0
0
ϕ1,n+1
ϕ2,n+1
. . .
. . .
ϕ1,M
ϕ2,M
⎞
⎟ .
⎠
(3.8.87)
0 0 . . . 1 ϕn,n+1 . . . ϕn,M