Klassifikation von Mustern

170 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Die Orthogonalität folgt dann unmittelbar aus (2.3.31), (2.3.32), jedoch ist ϕ T ν ϕ ∗ ν nicht auf den
Wert Eins normiert.
[ ˜ f ′ j
Betrachtet man statt der periodischen Folge [ ˜ fj] die um m Abtastwerte verschobene Folge
], deren Werte definiert sind durch
˜f ′ j = ˜ fj+m , (3.2.17)
so gilt in Analogie zu (2.1.10), S. 64, der folgende Satz.
Satz 3.2 Gegeben sei
[ Fν] = DFT{[ ˜ fj]} ; (3.2.18)
dann gilt für die verschobene Folge in (3.2.17)
[ F ′ ν ] = DFT{[ ˜ f ′ j ]} = [ FνW −νm
M ] . (3.2.19)
Beweis: Der Beweis erfolgt über die Definition der DFT. Für ein Element F ′ ν der Folge [ F ′ ν]
gilt
F ′ ν =
M−1
j=0
˜f ′ νj
jWM =
M−1
j=0
Die Substitution j + m = l ergibt
F ′ ν =
m+M−1
l=m
˜flW ν(l−m)
M
˜fj+mW νj
M .
= W −νm
M
l
˜flW νl
M
Der wesentliche Punkt ist nun, dass [ ˜ fl] eine periodische Folge und
W νj
M
ist. Daher gilt auch
. (3.2.20)
= W ν(j+kM)
M , k = 0, ±1, ±2, . . . (3.2.21)
F ′ ν = W −νm
M
M−1
l=0
˜flW νl
M = W −νm
M DFT{[ ˜ fν]} . (3.2.22)
Dieses geht auch anschaulich aus Bild 3.2.2 hervor. Damit ist Satz 3.2 bewiesen.
Ordnet man die Abtastwerte [fj] eines Musters mit (2.3.24) einer Periode von [ ˜ fj] zu, so
entspricht (3.2.17) einer Translation des Musters, die allerdings nur sinnvoll ist, wenn die Werte
von [f ′ j ] in der gleichen Periode von [ ˜ fj] liegen wie die von [fj]. Ein solcher Fall ist in Bild 3.2.2
unten gezeigt. Die Bedeutung eines Musters ist aber i. Allg. unabhängig von einer Translation.
Daher werden als Merkmale cν oft nicht die Koeffizienten Fν verwendet sondern
cν = |Fν| 2 = FνF ∗ ν . (3.2.23)
Die Abtastwerte von Signalen, insbesondere von Bild– oder Sprachsignalen, sind ganze Zahlen,
also reelle Werte; für diese gilt |Fν| 2 = |F−ν| 2 . Bei einer Verschiebung hat man Merkmale
c ′ ν = |F ′ ν |2 = |FνW −νm
M |2 = |Fν| 2 = cν , (3.2.24)