Klassifikation von Mustern

4.2. STATISTISCHE KLASSIFIKATOREN (VA.3.3.4, 29.09.2004) 329
von Zufallsvariablen. Für die i–te Zufallsvariable wird, ähnlich wie in (2.4.6), S. 109, eine
Nachbarschaft Nm(Xi), die m ≤ n Werte aus X enthält, definiert mit
Nm(Xi) = {Xν |Xν ist Nachbar von Xi} . (4.2.19)
Die Nachbarschaft von Xi kann im Prinzip beliebig definiert werden; Beispiele sind die Menge
der Bildpunkte, die in einer 4–Nachbarschaft (s. Definition 2.13, S. 136) liegen; oder die Menge
der Bildpunkte, deren Grau–, Farb–, Geschwindigkeits– oder Tiefenwerte sich um weniger als
ein vorgegebener Schwellwert unterscheiden (die Menge dieser Bildpunkte wird i. Allg. nicht
räumlich benachbart oder zusammenhängend sein); oder die Menge der z. B. drei Merkmale
(cν, cν+1, cν+2) einer orthonormalen Entwicklung, die aufeinanderfolgende Ordnung haben.
Definition 4.5 Ein MARKOV-Zufallsfeld ist definiert durch die Positivität, d. h. p( X) > 0 und
die MARKOV-Eigenschaft
p(Xi|{X1, . . . , Xi−1, Xi+1, . . . , Xn}) = p(Xi|Nm(Xi)) . (4.2.20)
Die durch die Menge { X\Xi} bedingte Wahrscheinlichkeit von Xi hängt damit nur von den
Elementen in der Nachbarschaft ab. Die MARKOV-Eigenschaft begrenzt also die statistischen
Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen umso mehr, je kleiner die Zahl m der Elemente der
Nachbarschaft gegenüber der Zahl n der Zufallsvariablen ist. Die MARKOV-Eigenschaft führt
dazu, dass sich die Berechnung der Verbundwahrscheinlichkeit p( X) wesentlich vereinfachen
lässt.
Die Zufallsvariablen werden nun als Knoten eines Graphen G aufgefasst. Zwischen zwei
Knoten wird eine Kante gezogen, wenn die zugehörigen Zufallsvariablen benachbart sind. Als
Clique Ci eines Graphen bezeichnet man eine Menge von Knoten, wenn es zwischen jedem Paar
von Knoten eine Kante gibt. Die Cliquen sind also vollständig zusammenhängende Teilgraphen.
Die Menge aller Cliquen von G ist CG = {C1, . . . , CP } und XCi ist die Menge der zu der
Clique Ci gehörigen Zufallsvariablen. Für die Verbundwahrscheinlichkeit p( X) gelten folgende
Aussagen:
Satz 4.5 Es gibt eine Menge von reellwertigen Cliquenfunktionen ΦCi (XCi ), i = 1, . . . , P ,
die symmetrisch in den Argumenten sind, sodass gilt
p( X) = 1
Z
Ci∈ e CG
ΦCi (XCi ) . (4.2.21)
Dabei ist Z eine Konstante, die die Verteilungsdichte p( X) auf das Integral Eins normiert.
Symmetrie in den Argumenten bedeutet, dass eine Vertauschung der Reihenfolge der Argumente
keine Änderung des Funktionswertes bewirkt. Die obige Gleichung lässt sich in äquivalenter
Form durch ein GIBBS-Feld darstellen:
Satz 4.6 Die Verbundwahrscheinlichkeit ist auch gegeben durch ein GIBBS-Feld
p( X) = 1
Z exp
⎡
⎣−
⎤
VCi (XCi ) ⎦ = 1
Z exp
−U(
X) . (4.2.22)
Ci∈ e CG