Klassifikation von Mustern

3.10. SYMBOLE (VA.1.1.3, 13.04.2004) 267
Für die stückweise Approximation muss die Punktmenge S in Teilmengen zerlegt werden
S = {S1, . . . , Si, . . . , Sm} ,
Si = {(xj, yj) | j = 1, 2, . . . , Ni} . (3.10.5)
Als Fehler der Approximation einer Punktmenge Sν kann der maximale Abstand
εa,i(d) = max |dj| ,
{j | (xj,yj)∈Si}
(3.10.6)
εa,i(s) = max sj
{j | (xj,yj)∈Si}
(3.10.7)
oder der mittlere quadratische Abstand
εm,i(d) = 1
εm,i(s) = 1
Ni
{j | (xj,yj)∈Si}
sj
Ni
{j | (xj,yj)∈Si}
|dj| , (3.10.8)
(3.10.9)
gewählt werden. Natürlich kann bei der Approximation einer endlichen Menge von Punkten
durch Geraden der Fehler stets zu Null gemacht werden, indem man je zwei Punkte durch eine
Gerade approximiert. Um viele kurze Geradenstücke zu vermeiden, darf also der zulässige
Fehler nicht unrealistisch klein vorgegeben werden. Ein Fehlermaß, das sowohl den Approximationsfehler
als auch die Länge der Geraden gj und ihre Zahl m berücksichtigt, ist z. B.
εk =
m εm,i(s)m
, (3.10.10)
i=1
Ni
das bezüglich m, Ni, εm,i(s) zu minimieren ist. Die hier am Beispiel der Approximation durch
Geraden gemachten Ausführungen gelten analog für andere parametrische Kurven. Für eine
Kurve mit der allgemeinen expliziten Gleichung
y = g(x, a) , (3.10.11)
bei der die Funktion g bis auf den Parametervektor a bekannt ist, wird in der Regel aus Gründen
der einfachen Berechenbarkeit der Parameter das Fehlermaß
εe = 1
(yj − g(xj, a)) 2
(3.10.12)
Ni
{j | (xj,yj)∈Si}
verwendet.
Ein einfaches Verfahren, um eine Punktmenge S gemäß (3.10.1), die zu einem eindimensionalen
Funktionsverlauf gehört, stückweise durch Geraden zu approximieren, ist das folgende:
1. Die Punktmenge S soll stückweise linear approximiert werden, wobei der Fehler εa,i(d)
oder εa,i(s) in keinem Stück einen Schwellwert θ überschreitet.
2. Anfangs– und Endpunkt der ersten Geraden sind (x1, y1) und (xN, yN).
3. Wenn für alle Geraden der Fehler nicht größer ist als θ, dann ist die Approximation beendet,
sonst fahre fort mit Schritt 4.
4. Für jede der bisher gefundenen Geraden mit zu großem Fehler führe Schritt 5 und 6 aus.