Klassifikation von Mustern

310 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
p1p(c|Ω1)
p
u0(c)
c
p2p(c|Ω2)
.
p(c)
u1(c)
min uλ
λ
Ωκ
pkp(c|Ωk)
uk(c)
T (c)r0
pT (c)r1
pT ✲
✲
✲ ✲
✲
.
✲
✲
✲ (c)rk
✲
Bild 4.1.1: Die Struktur des optimalen Klassifikators, der das Risiko minimiert, gemäß (4.1.13),
(4.1.16)
d. h. der Integrand kann als kleinsten Wert nur
umin(c) = min
λ uλ(c) (4.1.15)
annehmen. Offensichtlich lässt sich für jeden Wert c ∈ Rc erreichen, dass der Integrand diesen
kleinstmöglichen Wert annimmt und dadurch das Risiko minimiert wird – man muss nämlich
nur die Entscheidungsregel geeignet wählen. Definiert man als optimale Entscheidungsregel
δ ∗ (Ωκ |c) =
1 : uκ(c) = min
λ uλ(c)
0 : λ = κ , λ = 0, 1, . . . , k ,
(4.1.16)
so nimmt der Integrand stets seinen minimalen Wert umin an. Sollte es in (4.1.16) mehrere Minima
geben, wird unter diesen ein beliebiges ausgewählt. Obwohl anfänglich eine randomisierte
Entscheidungsregel zugelassen wurde, führt die Minimierung des Risikos auf eine nicht randomisierte
Regel. Bei Beobachtung eines Merkmalsvektors c wählt also der optimale Klassifikator
mit der Wahrscheinlichkeit 1 eine bestimmte Klasse aus. Mit den Vektoren
p(c) = (p1p(c|Ω1), . . . , pkp(c|Ωk)) T
rλ = (rλ1, . . . , rλk) T , λ = 0, 1, . . . , k (4.1.17)
lassen sich die Prüfgrößen in (4.1.13) auch kompakt als Skalarprodukt
uλ(c) = r T λp(c), λ = 0, 1, . . . , k (4.1.18)
angeben. Die Struktur des Klassifikators zeigt Bild 4.1.1. Dieses Ergebnis ist im folgenden Satz
zusammengefasst:
Satz 4.1 Der optimale Klassifikator, der das Risiko V (δ) in (4.1.12) bei der Klassifikation
minimiert, berechnet die (k + 1) Prüfgrößen uλ(c) gemäß (4.1.13). Er entscheidet sich stets
für die Klasse Ωκ, deren Prüfgröße uκ den kleinsten Wert hat.