Klassifikation von Mustern

168 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
System von Basisfunktionen ϕν(t). Insbesondere gilt in Analogie von (3.2.5)
f(t) =
cν =
∞
ν=−∞
cνϕν(t)
=
〈f(τ), ϕν(τ)〉ϕν(t) ,
ν
∞
f(τ)ϕν(τ) dτ = 〈f(τ), ϕν(τ)〉 .
−∞
(3.2.6)
Dabei wird die quadratische Integrierbarkeit von f(t) vorausgesetzt, d. h.
∞
|f(t)| 2 dt < ∞ . (3.2.7)
−∞
Der Vektorraum der eindimensionalen, quadratisch integrierbaren Funktionen wird mit L 2 (R)
bezeichnet, wobei R die rellen Zahlen sind.
Die Vektoren eines Basissystems sind meistens in bestimmter Weise geordnet, z. B. die ϕ ν
in (3.2.15) nach steigenden Frequenzen. Natürlich bedeutet das i. Allg. nicht, dass die n ersten
Entwicklungskoeffizienten in (3.2.2) deswegen die für die Klassifikation am besten – oder am
schlechtesten – geeigneten Merkmale sind. Eine Merkmalsbewertung und –auswahl mit den in
Abschnitt 3.9 beschriebenen Verfahren wird also trotzdem zweckmäßig sein.
Man kann eine Entwicklung entweder auf das ganze Objekt oder nur auf die Konturlinie
dieses Objekts anwenden. Im ersten Falle haben die globalen Objekteigenschaften einen starken
Einfluss, im zweiten werden kleinere Einzelheiten stärker bewichtet. Beide Vorgehensweisen
finden Anwendung. Beispiele für Orthogonaltransformationen folgen in Abschnitt 3.2.2
bis 3.2.6; daneben sind aus der mathematischen Literatur verschiedene orthogonale Polynome
bekannt.
In der Signalverarbeitung wird die Entwicklung (3.2.2) auch als Analyseteil und die Rekonstruktion
(3.2.5) auch als Syntheseteil bezeichnet. Aus den Gleichungen geht hervor, dass die
Aufeinanderfolge von Analyse und Synthese die Identität ergibt. Es handelt sich um lineare
Operationen, die durch Vektor– und Matrixoperationen realisiert werden.
Eine Verallgemeinerung der Entwicklung nach orthogonalen Basisvektoren ist die Entwicklung
nach einer biorthogonalen Basis.
Definition 3.2 Zwei Mengen von Vektoren ϕ = {ϕν} und χ = {χν} heißen biorthogonale
Basis (oder auch duale Basis), wenn Definition 3.1 gilt mit der Verallgemeinerung
ϕ T
αµ,ν : µ = ν ,
µχν = 〈ϕ µ, χν〉 =
(3.2.8)
0 : sonst .
Die Menge χ wird auch die zu ϕ duale Menge von Vektoren genannt. Dafür gilt in Verallgemeinerung
von (3.2.5)
f =
M
〈f, χν〉ϕν . (3.2.9)
ν=1
Die Rahmen sind eine weitere Verallgemeinerung, die dadurch möglich wird, dass, wie
schon erwähnt, Orthogonalität zwar eine nützliche und hinreichende Bedingung für die Entwicklung
ist, aber keine notwendige.