Klassifikation von Mustern

64 KAPITEL 2. VORVERARBEITUNG (VK.1.3.3, 18.05.2007)
6
4
2
0
−2
−4
−6
0 0.1 0.2 0.3
2500
2000
1500
1000
500
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
20
15
10
5
0
−5
−10
−15
−20
0 0.1 0.2 0.3
2500
2000
1500
1000
500
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Bild 2.1.3: Das Bild zeigt (von links nach rechts) eine Funktion, die durch Überlagerung von
drei Sinusfunktionen entstand; den Betrag der FOURIER-Transformierten; die Funktion mit zusätzlichem
Rauschen überlagert; deren FOURIER-Transformierte halber Länge
Das Symbol i (hier im Exponenten einer e–Funktion) ist stets die komplexe Zahl (0, 1) mit
i 2 = (−1, 0) = −1 bzw. √ −1 = i . Bild 2.1.3 zeigt ein Beispiel für Funktionen und ihre
FOURIER-Transformierten. Man sieht, dass in beiden Fällen die drei Frequenzen der transformierten
Funktion (50, 120 und 150 Hz) als Maxima erkennbar sind; man sieht auch, dass es
wegen der Symmetrie reicht, nur die Hälfte der Werte zu berechnen. Das FOURIER-Integral
wurde durch die in Abschnitt 2.3.3 eingeführte diskrete Version approximiert.
Einige Beispiele für Transformationspaare sind
f(x)
f(x)
=
=
1 ,
1 : |x| < xe
,
0 : sonst
F (ξ) = 2πδ(ξ) ,
F (ξ) =
(2.1.6)
2 sin[xe
f(x) =
1 (x − µ)2
√ exp −
2π σ 2σ
ξ]
,
ξ
(2.1.7)
2
,
F (ξ) = exp i µξ − 1
2 σ2ξ 2
(2.1.8)
= N (x|µ, σ) .
Dabei ist die Delta–Funktion in (2.1.6) definiert durch
1
δ(x) = lim √ exp −
σ→0 2π σ x2
2σ2
,
∞
δ(x) dx = 1 . (2.1.9)
−∞
Die zweidimensionale Version von (2.1.7) zeigt Bild 2.3.4, S. 95, mitte. Die Funktion in (2.1.8)
wird als GAUSS-Funktion oder Normalverteilung bezeichnet und ist gezeigt in Bild 4.2.1,
S. 324.
Wenn man die FOURIER-Transformierte F (ξ) einer Funktion f(x) kennt, kann man daraus
die FOURIER-Transformierten verschiedener Funktionen berechnen, die daraus hervorgehen.
Einige Beispiele geben wir ohne Beweis an:
f1(x) = f(x − x0) , FT{f1(x)} = F (ξ)exp[−i x0ξ] , (2.1.10)
f2(x) = dn f(x)
dxn , FT{f2(x)} = (i ξ) n f3(x)
E
=
=
x
f ,
σ
∞
|f(x)|
−∞
F (ξ) ,
FT{f3(x)} = |σ|f(σ x) ,
(2.1.11)
(2.1.12)
2 dx , E = 1
∞
|F (ξ)|
2π −∞
2 ∞
dξ , (2.1.13)
r(x) = f(u)f(u − x) du , FT{r(x)} = |F (ξ)| 2 , (2.1.14)
−∞