Klassifikation von Mustern

436 KAPITEL 4. NUMERISCHE KLASSIFIKATION (VK.2.3.3, 07.09.2005)
Für n Merkmale, die jeweils mit Lν Werten quantisiert sind, erhält man also L1·L2·. . .·Ln Tupel
der angegebenen Form. Wenn die Zahl der Merkmale klein ist, z. B. n = 2, 3 oder 4, so kann
statt der n eindimensionalen Histogramme auch ein n-dimensionales Histogramm H(l|c, κ)
analog zu (4.9.6) berechnet werden. Bei einer großen Zahl von Merkmalen scheitert die Berechnung
der mehrdimensionalen Histogramme am Aufwand („der Fluch der hohen Dimension“),
wie schon in Abschnitt 4.2.1 ausgeführt wurde. Wenn man k Objekte klassifizieren will,
werden als Referenzen deren n-dimensionale Histogramme aus einer Stichprobe von Bildern
geschätzt. Damit liegt ein statistisches Modell der Objekte in Form einer nichtparametrischen
Schätzung der bedingten Verteilungsdichten der Merkmale vor (s. auch Abschnitt 4.2.1 und
Abschnitt 4.2.6). Zur Wahl der Zahl der diskreten Werte Lν des Histogramms besteht ein Vorschlag
darin, unabhängig von der Art der Operation Lν = L = 32 zu setzen. Zur Art und Zahl
der konkret verwendeten lokalen Operationen wird auf Abschnitt 3.7.2 verwiesen.
Wenn ein neu beobachtetes Objekt zu klassifizieren ist, kann dieses zum einen durch einen
Vergleich der Referenzhistogramme der Objkete mit dem Histogramm der neuen Beobachtung
erfolgen, zum anderen durch direkten Rückgriff auf Satz 4.3, S. 315.
Zum Vergleich des Histogramms H(l|c, κ) eines Objektes aus Ωκ mit dem Histogramm
H(l| ϱ c) der ϱ-ten neuen Beobachtung wurden unterschiedliche Maße für den Abstand zweier
Histogramme vorgeschlagen. Der Abstand zwischen zwei n-dimensionalen Histogrammen erfordert
stets eine Operation über alle L1 · . . . · Ln Einträge oder Tupel im Histogramm, für die
wir am Beispiel des quadratischen Abstands eine vereinfachte Notation einführen gemäß
dH,q(κ, ϱ) = d (H(l|c, κ), H(l| ϱ c))
L1 Lν Ln
n
= . . . . . . H(lν |cν, κ) −
l1=1
lν=1
ln=1
ν=1
=
(H(l|c, κ) − H(l| ϱ c)) 2 .
l1,...,ln
n
H(lν | ϱ cν)
ν=1
2
(4.9.8)
Weitere Abstandsmaße sind der χ 2 -Abstand dH,χ, der KULLBACK-LEIBLER-Abstand dH,KL
und der BHATTACHARYYA-Abstand dH,B zweier Histogramme
dH,χ(κ, ϱ) =
l1,...,ln
dH,KL(κ, ϱ) =
l1,...,ln
dH,B(κ, ϱ) = 1 −
(H(l|c, κ) − H(l| ϱ c)) 2
H(l|c, κ) + H(l| ϱ c)
(H(l|c, κ) − H(l| ϱ c)) log
l1,...,ln
, (4.9.9)
H(l|c, κ)
H(l| ϱ
c)
, (4.9.10)
H(l|c, κ) · H(l| ϱ c) . (4.9.11)
Beim Rückgriff auf Satz 4.3 wird, wie schon generell in Kapitel 4.2, für einen im Muster ϱ f
an der Position m beobachten Merkmalsvektor cm die bedingte Wahrscheinlichkeit p(cm |Ωκ)
berechnet. Der Wert dieser Wahrscheinlichkeit kann aus dem n-dimensionalen Histogramm
H(l|c, κ) in (4.9.7) entnommen werden. Nun wird ein lokales Merkmal an irgendeiner Position
m i. Allg. keine zurverlässige Klassifikation erlauben. Wie schon in Abschnitt 3.7.2 beschrieben,
werden daher Nc lokale Merkmale an unterschiedlichen Positionen im Bild berechnet und
ihre Wahrscheinlichkeiten dem Histogramm entnommen. Unter der Annahme statistischer Unabhängigkeit
der lokalen Merkmale ist dann die bedingte Wahrscheinlichkeit der Beobachtung