Klassifikation von Mustern

4.1. STATISTISCHE ENTSCHEIDUNGSTHEORIE (VA.1.2.3, 13.04.2004) 317
Bild 4.1.3: Muster in dem mit Ω1 bezeichneten Bereich sind mit einer Wahrscheinlichkeit, die
der senkrecht schraffierten Fläche entspricht, tatsächlich aus Ω1; entsprechendes gilt für Ω2 usw.
Die Wahrscheinlichkeit pc ein Muster richtig zu klassifizieren, entspricht also der Summe der
schraffierten Flächen, und das ist gerade das in (4.1.38) auftretende Integral
pz =
pf =
k
pκp(Ω0 |Ωκ) ,
κ=1
k
κ=1
pκ
k
p(Ωλ |Ωκ) , (4.1.40)
λ=1
λ=κ
1 = pc + pz + pf .
4.1.6 Verallgemeinerungen der Klassifikation eines Merkmalsvektors
Wegen der Problematik der geeigneten Definition allgemeiner Kostenfunktionen rλκ wird oft
die (0, 1)–Kostenfunktion verwendet, d. h. die Fehlerwahrscheinlichkeit minimiert. Die Vorgehensweise
ist durch den BAYES-Klassifikator und Satz 4.3 gegeben. Dort ist zunächst nur
die Klassifikation eines einfachen Musters, das durch einen Merkmalsvektor fester Dimension
beschrieben wird, betrachtet worden. Es gibt jedoch einige praktisch wichtige unmittelbare
Verallgemeinerungen, die am Beispiel der Klassifikationsprobleme von Abschnitt 1.5 betrachtet
werden.
1. Der einfachste und auch der „klassische“ Fall ist die Klassifikation eines einzelnen Merkmalsvektors
bzw. eines Musters als Ganzes in Bild 1.5.1, S. 30. Es werden gemäß (4.1.34)
die a posteriori Wahrscheinlichkeiten aller Klassen berechnet und die Klasse mit maximaler
a posteriori Wahrscheinlichkeit ausgewählt
p(Ωλ |c) = p(Ωλ)p(c|Ωλ)
p(c)
. (4.1.41)
2. Daraus ergibt sich sofort die allgemeine Lösung für die Klassifikation von Mustern im
Kontext in Bild 1.5.2, S. 31. Dazu wird die Folge der beobachteten Merkmalsvektoren
[ 1 c, . . . , N c] zu einem erweiterten Merkmalsvektor C zusammengefasst und analog die
Folge der zu bestimmenden Klassen [ 1 Ω, . . . , N Ω] zu einer erweiterten Klasse Ω. Damit