Klassifikation von Mustern

180 KAPITEL 3. MERKMALE (VK.2.3.3, 13.04.2004)
Zum Beispiel ist die HADAMARD-Matrix
H8 =
=
H2 ⊗ H2 ⊗ H2 = (H2 ⊗ H2) ⊗ H2 = H2 ⊗ (H2 ⊗ H2)
⎛
⎞
1 1 1 1
⎜
⎟
⎜ 1 −1 1 −1 ⎟
⎜
⎟ ⊗ H2
⎝ 1 1 −1 −1 ⎠
=
1
⎛
1
⎜ 1
⎜ 1
⎜
1
⎜ 1
⎜ 1
⎜
⎝ 1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
−1
−1
−1
1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
⎞
1
⎟
−1 ⎟
−1 ⎟
1 ⎟
−1 ⎟ .
⎟
1
⎟
1 ⎠
(3.2.58)
1 −1 −1 1 −1 1 1 −1
Sie enthält die Abtastwerte der ersten acht WALSH-Funktionen, aber wie erwähnt in anderer
Anordnung. Zudem ist bei einigen das Vorzeichen umgekehrt.
Definition 3.5 Die HADAMARD- geordnete WALSH–HADAMARD-Transformation (WHT)
eines Mustervektors f mit M Komponenten erfolgt gemäß
c = HMf = WHT{f} (3.2.59)
Die inverse WALSH–HADAMARD-Transformation lautet
f = 1
M HMc = WHT −1 {c} . (3.2.60)
Die WHT erfordert nur Additionen und Subtraktionen. Es gibt einen Algorithmus für die
schnelle WHT, der sich ähnlich wie in (3.2.36) durch Faktorisierung der Transformationsmatrix
HM gewinnen lässt. Zur Abwechslung wird die Faktorisierung hier anschaulich über den
Signalflussgraph angegeben. Als Beispiel betrachten wir die WHT für M = 8, für die man mit
(3.2.58), (3.2.59) die Beziehung (3.2.61) erhält. Zur Unterscheidung der Zwischenergebnisse
geschrieben. Mit l = 0 werden
werden die Abtastwerte fj mit einem weiteren Index l als f l j
die Anfangswerte gekennzeichnet, also f 0 j = fj, j = 0, 1, ..., M − 1, und mit l = 1, 2, ..., q
die Ergebnisse nach l Iterationen, wobei f q
j = cj, j = 0, 1, ..., M − 1 das Endergebnis ist.
Zerlegt man c und f entlang der gepunkteten Linie in (3.2.61), so gilt für die obere Hälfte die
Beziehung (3.2.62).
⎛
⎜
⎝
c0
c1
c2
c3
.
c4
c5
c6
c7
⎞
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎛
⎞ ⎜
H4 H4 ⎜
⎝ . . . . . . . . . . . . ⎠ ⎜
H4 −H ⎜
4 ⎜
⎝
f 0 0
f 0 1
f 0 2
f 0 3
. .
f 0 4
f 0 5
f 0 6
f 0 7
⎞
⎟ , (3.2.61)
⎟
⎠